高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课后导练新人教B版选修1_.doc

3.3.2 利用导数研究函数的极值课后导练基础达标1.若函数y=f(x)可导，则“f(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A2.函数y=1+3x-x3有()A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值3解析：y=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时，y<0,函数y=1+3x-x3是减函数；当-1<x<1时，y>0,函数y=1+3x-x3是增函数；当x>1时，y<0,函数y=1+3x-x3是减函数.当x=-1时，函数y=1+3x-x3有极小值-1；当x=1时，函数y=1+3x-x3有极大值3.答案：D3.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a等于()A.2B.3C.4D.5解法一：(直接法)f(x)=3x2+2ax+3,则x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根，所以a=5.故选D.解法二：(验证法)当a=2时，f(x)=3x2+4x+3=0,无解，排除A；当a=3时，f(x)=3x2+6x+3=0,x=-1,不满足条件，排除B；当a=4时，f(x)=3x2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C，故选D.答案：D4.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的()A.极大值为，极小值为0B.极大值为0，极小值为-C.极小值为-，极大值为0D.极小值为0，极大值为解析：f(x)与x轴切于(1，0)点，f(x)=3x2-2px-q.f(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,p=2,q=-1.f(x)=x3-2x2+x.fmax=,fmin=f(1)=0.故选A.答案：A5.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是()A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x解析：三次函数过原点，可设f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c,由题设知，f(1)=3+2b+c=0,f(3)=27+6b+c=0,b=-6,c=9.f(x)=x3-6x2+9x;f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1时，f(x)max=4;当x=3时，f(x)min=0,满足条件.答案：B6.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是_.解析：利用导数，由题设可得f(x)=3x2-3b,若该函数在(0，1)内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0<b<1,从而有0<b<1成立.答案：0<b<17.函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的范围是_.解析：f(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),令f(x)=0,得x=±a,当-a<x<a时，f(x)<0，函数递减；当x>a或x<-a时，f(x)>0，函数递增.f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0,解得a>.答案：a>8.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为_.解析：x=2是f(x)的极大值点，f(x)=x(x2-2cx+c2),f(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.f(2)=c2-8c+12=0.c=2或c=6.当c=2时，不能取极大值，c=6.答案：69.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.解：(1)由f(-1)=f(1)=0，得3a+2b+c=0，3a-2b+c=0.又f(1)=-1，a+b+c=-1.a=,b=0,c=-.(2)f(x)=x3-x，f(x)=x2-=(x-1)(x+1)；当x<-1或x>1时，f(x)>0；当-1<x<1时，f(x)<0.函数f(x)在(-,-1)和(1,+)上为增函数，在(-1,1)上为减函数.当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.10.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.解：(1)f(x)=alnx+bx2+x，f(x)=+2bx+1.由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0，a+2b+1=0且+4b+1=0，解方程组得a=-，b=-.f(x)=-lnx-x2+x.(2)f(x)=-x-1-x+1.当x(0,1)时，f(x)<0，当x(1,2)时，f(x)>0，当x(2,+)时，f(x)<0，故在x=1处函数f(x)取得极小值，在x=2处函数取得极大值ln2.综合运用11.求下列函数的极值(1)y=x4-2x2-1(2)y=(x+2)2(x-1)3解：(1)y=4x3-4x=0，x=0或x=-1或x=1.x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y-0+0-0+y极小极大极小当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=1时，函数有极小值-2.(2)f(x)=2(x+2)(x-1)3+3(x+2)2(x-1)2=(x+2)(x-1)2(5x+4).令f(x)=0，解得x=-2，或x=-，或x=1.x(-,-2)-2(-2,-)-(-,1)1(1,+)y+0-0+0+y极大极小无当x=-2时，有极大值0；当x=-时，有极小值-12.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如图所示.求：(1)x0的值；(2)a、b、c的值.答案：(1)解：由图象可知，在(-,1)上f(x)>0，在(1,2)上f(x)<0.在(2,+)上f(x)>0.故f(x)在(-,1),(2,+)上递增，在(1,2)上递减.因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.(2)解法一：f(x)=3ax2+2bx+c，由f(1)=0，f(2)=0，f(1)=5，得解得a=2,b=-9,c=12.解法二：设f(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m，又f(x)=3ax2+2bx+c，所以a=,b=-m,c=2m,f(x)= x3-mx2+2mx.由f(1)=5,即-m+2m=5,得m=6，所以a=2,b=-9,c=12.13.(2005全国高考，21)设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.解：(1)f(x)=3x2-2x-1.若f(x)=0，则x=-,1.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表.x(-,-)-(-,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f(-)=+a，极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.由此可知x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时有f(x)<0.所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.结合f(x)的单调性可知.当f(x)的极大值+a<0，即a(-,-)时，它的极大值也小于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1,+)上；当f(x)的极小值a-1>0，即a(1,+)时，它的极小值也大于0，因此曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，它在(-,-)上.所以当a(-,-)(1,+)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.拓展探究14.已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,cR为常数.若b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性.解析：求导得f(x)=x2+(b+2)x+b+cex.因b2>4(c-1)，故方程f(x)=0，即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；x1=令f(x)>0，解得x<x1或x>x2；又令f(x)<0，解得x1<x<x2，故当x(-,x1)时，f(x)是增函数；当x(x2,+)时,f(x)是增函数；但当x(x1,x2)时，f(x)是减函数.5