华东师范大学数学分析历年真题9706.doc

华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I上严格单调。二（12分）设 证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 四（16分）设级数收敛，试就为正项级数和一般项级数两种情况分别证明也收敛。五（20分）设方程满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。又设具有连续的二阶偏导数。（1） 求（2） 若为f(x)的一个极值，试证明：当与同号时，为极大值；当与异号时，为极小值。（3） 对方程，在隐函数形式下（不解出y）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。六（12分）改变累次积分的积分次序，并求其值。七（12分）计算曲面积分其中s为锥面上介于的一块，为s的下侧法向的方向余弦。华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一 简答题（20分）（1） 用定义验证：；（2） ；（3） 计算二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且求f(0).三（20分）（1）已知为发散的一般项级数，试证明也是发散级数。（2）证明在上处处收敛，而不一致收敛。四（12分）设其中f为连续函数，f(1)=1.证明五（12分）设D为由两抛物线与所围成的闭域。试在D内求一椭圆，使其面积为最大。六（12分）设有连续二阶偏导数，有连续一阶偏导数，且满足证明：七（12分）设为的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若在上连续，则常数。华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题一设 ，证明：收敛，并求其极限。二.证明：若函数在区间I上处处连续，且为一一映射，则在I上为严格单调.三.用条件极值的方法证明不等式：四.设在上可导，且，证明在上不一致连续。五.设在上二阶可导，且，证明：.六.设在上有二阶连续偏导数。（1） 通过计算验证：（2） 利用（1）证明：.七.设对每个在上有界，且当时，证明：（1） 在上有界；（2） ,八设为S的内点，为S的外点，证明：直线段至少与S的边界有一个交点。华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题一（24分）计算题：（1）（2）（3）设是由方程,所确定的可微隐函数，试求Z.二（14分）证明：（1）为递推数列；（2），n=1,2,.三（12分）设在中任意两点之间都具有介值性，而且在内可导，（正常数）, 证明在点a右连续（同理在点b左连续）.四（14分）设证明:（1）,n=2,3;（2）n=1,2,3.五（12分）设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线饶轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为 （提示：据空间解几知道S的方程为）六（24分）级数问题：（1） 设,求。（2） 设收敛，证明: （3） 设为上的连续函数序列，且证明：若在上无零点。则当充分大时在上也无零点，并有 华东师范大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题一（30分）简单计算题.1）验证：当时，与为等价无穷大量.2）求不定积分。3）求曲线积分:其中有向曲线如图所示. 4）设为可微函数，和方程试对以下两种情形，分别求在点处的值：（1）由方程确定了隐函数:（2）由方程确定了隐函数:二.（12分）求由椭球面与锥面所围立体的体积。三.（12分）证明：若函数在有限区间内可导，但无界，则其导函数在内亦必有界.四.（12分）证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛.五（17分）设在上连续，证明：1）在上不一致收敛；2）在上一致收敛。六（17分）设函数在闭区间上无界,证明：1）使；2）使得：在上无界。（若能用两种不同方法证得2），奖励5分）华东师范大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题一.（12分）计算：1.；2.3.设F为上的可微函数，由方程确定了为与的函数，求在点的值.二.（15分）设函数均在内有连续导数，且对于任何，有，求证：1.不可能有相同的零点；2.的相邻点之间必有的零点；3.在的每个极值点，存在的某邻域，使得在该邻域中是严格单调的.三.（15分）设初始值给定，用递推公式得到数列。1.求证数列收敛；2.求所有可能的极限值；3.试将实数轴R分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，都收敛于相同的极限值.四.（12分）设，求椭球体的表面积.五.（18分）设数列有界但不收敛，求证：1.对于任何收敛；2.对于任何在上一致收敛；3.在上不一致收敛.六.（12分）设函数在上连续，求证：。七.（16分）设函数在上严格递增，且有连续导数，设是的反函数，求证：1.对于任何，都有2.当时，下列不等式成立,其中当且仅当时，等式成立.华东师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题一（30分）简答题（只需写出正确答案）。1.；2.，则3.4.，则5.，则6.方向为顺时针方向，则二.（20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）1.若则.2.若在上可导，且导函数有界，则在上一致连续。3.若在上可积，在上可导，则4.若收敛，且则收敛。三.（17分）求极限,记此极限为，求函数的间断点，并判别间断点类型.四.（17分）设在上连续，且证明,其中。五.（17分）若函数在上对连续，且存在，对，.求证：在上连续.六.（17分）求下列积分:其中.七（17分）设（1）求证：；（2）求证：八（15分）求证：收敛。华东师范大学2004年攻读硕士学位研究生入学试题一.（30分）计算题（1）求；（2）若求.（3）求.（4）求幂级数的和函数.（5）L为过和的曲线，求:（6）求曲面积分其中取上侧.二（30分）判别题（正确的证明，错误的举反例）1 .若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点2. 若在上连续有界，则在上一致连续.3. 若在上可积，则:4 .若收敛，则收敛.5.若在上定义的函数存在偏导数，且在上连续，则在上可微.6 .在上连续，若则.三.（15分）函数在上连续且，求证：在上有最大值或最小值.四（15分）求证不等式：五（15分）设在上连续且在上一致收敛于,若,求证：使六（15分）设满足：（1）（2）级数收敛。求证：.七（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.八（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面恒有:求证：华东师范大学2005年攻读硕士学位研究生入学试题一（24分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例）1.的一个充要条件是：存在正整数N，对于任意正数，当时均有.2.设在上连续，在上一致连续，那么在上一致连续.3.设那么正项级数收敛.4.在点沿任意方向的方向导数都存在，则函数在点连续.二（64分）计算下列各题。1.求极限2.求极限3.求曲线在处的切线方程。4.设在R上连续，求.5.求6.设求.7.设S是有向曲面，外侧。求第二型曲面积分8.求椭球面的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积.三（62分，1-4 /（12分），5（14分）证明以下各题:1.设在有限区间上一致连续。求证：在区间上有界.2.已知。求证：条件收敛.3.设在区间连续，求证：函数列在上一致连续于1.4.设在上连续，求证：在上连续.5.设为在区间上的有界连续函数，并且对于任意实数，方程至多只有有限个解。求证：存在.华东师范大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题一（30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）1.设数列满足条件：使，则收敛。2.设在上可导。若在上有界，则在上有界.3.设正数列满足条件则收敛。4.设在上可积，且，则存在，使得:5.设在的某邻域内连续，且在处有偏导数则在处可微.二.计算题（30分）6.求其中.7.求的麦克劳林级数展开式。8.求9.设方程定义了隐函数，其中可微，连续，且求10.求其中三.证明题（90分）11.设在上具有连续的二阶导函数若,求证：在上有连续的导函数.12.设是上连续函数，且在上一致收敛于,求证：13.设在上一致连续，且，求证：.14.设在上连续有界，求证：15.设是定义在开区域D上的有连续的偏导数的三元函数，且，S是由定义的封闭的光滑曲面。若且P与Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值,求证：过P的S的切平面与过Q的S的切平面互相平行，且垂直于过P与Q的连线.26