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一、定积分的概念,二、定积分的性质,第二节 定积分,三、牛顿莱布尼兹公式,四、定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的概念,曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形.,怎样求曲边梯形的面积？看下面的动画演示:,分割越细,小矩形面积的和越趋近于曲边梯形的面积.,求曲边梯形的面积,(3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;,xi,求变速直线运动的路程,把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,对于匀速运动，我们有公式 路程=速度X时间,解决变速运动的路程的基本思路,设某物体做变速直线运动,其速度为 .求在时间间隔 内所走过的路程,其中 为区间 上的非负连续函数.,(1)分割,(3)求和,(4)取极限,路程的精确值,(2)近似,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,许多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问题，将其一般化，就得到定积分的概念.,曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,定义3-3 设 在区间 上有定义, 用 个分点 ,将区间 分成 小区间,记 ,任取点 ,作和式,记 ,如果无论区间 如何分法, 点如 何取法,当 时,和式的极限存在,则称此极限为 在区间 上的定积分,记作 ,即,积分上限,积分下限,(2) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,根据定积分的定义，曲边梯形的面积为,变速直线运动的路程为,注意:(1) 定义中区间的分法和 的取法是任意的.,(3) 时,规定,时,规定,例3-36 利用定义计算定积分,(3) 求和,所以,(4) 取极限 当,定积分的几何意义,当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.,当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示曲边梯形面积的负值,即,当f(x)在区间a,b上时正时负,则定积分 表示曲线y=f(x)与x 轴介于a、b之间的各部分面积的代数和.,二、定积分的性质,性质3-6,注意：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,性质3-7 定积分对于积分区间具有可加性,性质3-8,如果在区间 上, 则,性质3-9 设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值,则,性质3-10（定积分中值定理）,如果函数 在闭区间 上连续,则在 上至少存在一个点 ，使,积分中值公式的几何解释：,在区间上至少存在一个点 ,使得以区间 为底边，以曲线 为曲边的曲边梯形的面积,等于同一底边而高为 的矩形的面积.,注意: 通常称 为连续函数 在区间 上的平均值.,实际上,定义本身不失为定积分的一种计算方法.其基本步骤是:先作积分和,然后求其和式极限.这一过程是比较复杂的,并且应用范围也仅限于少数几种特殊的被积函数.在历史上,寻找定积分新的计算方法,经历了漫长的岁月,直到17世纪中叶,英国数学家牛顿(Isacc Newton,1642-1727)和德国数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)创立了微积分基本定理.从而揭示了定积分与不定积分之间的关系,建立了一种切实可行的、简单的计算方法.,积分上限函数,设函数 在区间 上连续,并且设 为 上的 一点,积分 是 函数,记为 .,称 为积分上限函数.,0,x,证明 任取,定理3-3 如果 在 上连续,则积分上限函数 在 上可导,且,由积分中值定理得:,例3-37 求函数 在 处的导数.,解 由定理3-3,所以,例3-38 求函数 的导数.,解 先将函数 化为积分上限函数,因此 可视为由 、 复合而成的复合函数.,所以,例3-39 求,解,解 这是 型不定式，应用洛必达法则.,例3-40 求极限,定理3-4(微积分基本定理)如果函数 在闭区间 上连续,且 是 一个原函数，则,证明 已知 是 的一个原函数,又 也是 的一个原函数,牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式表明：一个连续函数在区间a,b 上的定积分等于该函数的任意一个原函数在 a,b上函数值的增量.,例3-41 求,解,例3-42 求,解,解 小鼠一天之内的能量代谢值可用0,24这一时间间隔里代谢率的积分求得,即,其中 t=0、24、28 相应于下午4点.求小鼠的日代谢值.,例3-43 设小鼠的能量代谢率EMR以日为周期而变化:,定理3-5 假设 在区间 上连续,函数 在区间 上是单值的且有连续的导数;其中 、 .当 在区间 上变化时， 的值在 上变化，则,注意: (1)用 把变量 换成新变量 时,积分限也相应的改变.,(2)求出新变量的积分后,只要将新的积分限代入计算, 不必换回原来的变量.,四、定积分的换元法和分布积分法,1.定积分的换元法,定积分的换元公式,例3-44 计算,解 设,所以,若不换新变量,就不要换上、下限,即,例3-45 计算,解,例3-46 计算,解 设,证明,证明,2.定积分的分部积分法,例3-48 求,解,例3-49 求,解,例3-50 药物从患者的尿液中排出,一种典型的排泄速率函数是 ,其中 是常数.求在时间间隔 内,排出药物的量 .,1定积分的定义 定积分的几何意义,2定积分的思想和方法：,主要内容,3. 积分上限函数 积分上限函数的导数 微积分基本公式(牛顿莱布尼兹公式),4. 定积分的换元积分法 定积分的分部积分公式,
