2.4离散傅里叶变换.ppt

2.4离散傅里叶变换,2.4.1 数字信号、模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换,若信号幅值和独立变量均离散，并且用二进制数来表示信号的幅值，则该信号为数字信号。 在工程测试中，数字信号一般来自于模拟信号，因此需要将模拟信号转换为数字信号，然后进行必要的数据处理，处理后的数字信号常需要还原成模拟信号。 模拟信号到数字信号、数字信号到模拟信号的转换分别称为信号的模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换其中A：Analog ；D：Digital,采样：将模拟信号变为离散时间信号，在各离散时刻上得到连续信号的样值。,2.4离散傅里叶变换,若 为采样器的输入，则输出为 为采样时间间隔，常称为采样间隔或采样周期。,编码：将每一个量化值 用 b 位二进制序列表示，便于数据处理。,2.4离散傅里叶变换,图2.38分别绘出了模拟信号、离散时间信号和数字信号的例子,D/A转换是对数字信号进行某种内插方式的处理以连接逐个样值的端点，从而得到近似的模拟信号，近似的程度取决于所采用的内插方式。图2.39表示一种简单的内插方式，称为零阶保持或阶梯近似。,2.4离散傅里叶变换,2.4.2 离散傅里叶变换的图解表示,时域采样 模拟信号的采样有多种方法，以周期或均匀采样的方法应用最多，表示为 式中： 为采样后的离散时间信号或采样信号，是对模拟信号 每隔 秒采样得到，该过程如图2.40所示。,对模拟信号进行离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）,一般可概括为三个步骤：时域采样、时域截断和频域采样。,然而，由于量化是非可逆的或单项的处理，会引起信号的失真，失真的大小取决于A/D转换器的精度。在实际中影响进度选择的因素是成本和采样速度，通常成本是随着精度和采样速度的提高而增加的。,2.4离散傅里叶变换,图2.40 模拟信号的周期采样,为采样周期， 称为采样速度(每隔采样次数)或采样频率(单位为Hz)。,采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。 在数学上，时域采样表示为间隔为 的周期脉冲序列 乘模拟信号 即,由函数的筛选特性式(2-66)可知： 采样信号 在各采样时刻 的幅值 。信号的时域采样如图2.41所示。,2.4离散傅里叶变换,其中g(t)为采样函数。Ts称为采样间隔，或采样周期，1/Ts=fs称为采样频率。,在时域采样中，采样函数 的傅里叶变换如图2.41b所示。 由信号的频域卷积特性可知，模拟信号 乘以采样函数 后的采样函数 的傅里叶变换，等于 的频谱 和 的频谱 的 卷积，即 由函数与其它函数卷积的特性，采样信号 的频谱可表示为如图2.41c所示。,2.4离散傅里叶变换,时域截断 采样信号 理论上为时间无限长的离散序列，即 而实际上为了存储、分析和处理的方便，只是取有限长度的采样序列，所以必须从采样信号的时间序列截取有限长的一段来处理，其余部分视为零而不予考虑。这相当于把采样信号 乘以一个矩形窗函数 ，如图2.43a所示。,2.4离散傅里叶变换,窗宽为T，所截取的时间序列点数为N=T/TS，N称为序列长度。,采样信号xs(nTs)被截取后的信号xsw(nTs)表示为,由信号的频域卷积特性可知xsw(nTs)的频谱为,窗函数wR(t)的幅频谱WR(jf)为,2.4离散傅里叶变换,图2.43 窗函数及其频谱,图2.44 时域采样截断后的信号及其频谱,频域采样 经过时域采样和截断处理，模拟信号x(t)变成了有限长的离散时间序列xsw(nTs), n=1,2,N。而从频域上看，xsw(nTs)的频谱Xsw(jf)仍为周期性连续频谱。但计算机或数字信号处理仪只能处理离散数据，因此，需要对Xsw(jf)进行频域采样。 频域采样在理论上是对周期性连续频谱Xsw(jf)乘以周期序列脉冲函数如图2.45b,2.4离散傅里叶变换,图2.45 频域采样函数及其时域函数,2.4离散傅里叶变换,由信号的卷积特征可知，与Xsw(jf)p相对应的时域信号xsw(t)p为,频域采样形成Xsw(jf)频域的离散化，相应的把时域信号周期化了，因而xsw(t)p是一个周期信号，如图2.46所示。,其时域表示为如图2.45a,Xsw(jf)频域采样后的实际输出Xsw(jf)p为,图2.46 Xsw(jf)频域采样后的时域和频域表示,2.4离散傅里叶变换,上述图解表示过程解释了离散傅里叶变换的演变过程。从最后的结果可以看出，信号时域、频域的离散化导致了对时域和频域的周期化处理。DFT实际上是把一个有限长序列做周期序列的一个周期来处理。,从以上过程可以看出，原来希望获得模拟信号的频谱，但由于计算机的数据是序列长度为N的离散时间信号xsw(nTs), 计算机输出的是Xsw(jf)p,而不是X(jf)，用Xsw(jf)p来近似X(jf)。处理过程中的每一个步骤采样、截断、DFT计算都会引起失真或误差。,2.4离散傅里叶变换,2.4.3 频率混叠和采样定理,采样间隔的选择是一个重要的问题。采样间隔太小(采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长(即采样点数多)，使计算工作量增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生很大的误差。 若采样间隔太大(采样频率低)，则可能丢失有用的信息。,【例2.10】对模拟信号x1(t)=10sin(2·10t)和x2(t)=10sin(2·50t)进行采样处理 ，采样间隔Ts=1/40，即采样频率fs=40Hz。试比较两信号采样后的离散时间信号的状态。,解：因采样频率fs=40Hz,则,因此,按此采样频率，两个信号数字信号相同,频率混叠 由图2.42可知，设模拟信号x(t)为带限信号，如果采样间隔Ts太大，即采样频率太低，频率平移距离fs过小，则x(t)的频谱X(jf)移至nfs，n=0,±1,±2，处的频谱fs· X(jf)就会有一部分相互交叠，使新合成的X(jf)* G(jf)图形与fs· X(jf)不一致，这种现象称为混叠。发生混叠后，改变了原来频谱的部分幅值，这样就不可能准确地从采样信号中恢复原来的模拟信号了。,2.4离散傅里叶变换,也就是说，不通频率的模拟信号在采样频率fs=40Hz的采样情况下，得到了没有区别的离散时间信号，即产生了信号的不确定性。这样，从时域的角度来看便造成了“频率混叠”现象。,2.4离散傅里叶变换,设带限信号x(t)的最高频率fc为有限值，以采样频率fs=1/Ts2fc进行采样，那么采样信号xs(t)的频谱Xs(jf)=X(jf)*G(jf)就不会发生混叠，如图2.48所示，其中fs/2称为折叠频率。如果将该频谱通过一个中心频率为零(f=0)，带宽为± fs/2的理想低通滤波器，就可以把原信号完整的频谱取出来，才有可能从采样信号中准确的恢复原信号的波形。,如果模拟信号x(t)为无限带宽信号，即信号的最高频率fc max，则无论采样频率fs多大，采样信号xs(t)的频谱Xs(jf)都会出现混叠。 Xs(jf)中凡超过折叠频率fs/2的频谱部分都将每隔fs叠加在一起，出现混叠。,采样定理,2.4离散傅里叶变换,若模拟信号x(t)为有限带宽信号，其最高频率为fc，为了避免信号的频率混叠，以便采样后仍能准确的恢复原信号，则采样频率fs必须大于或等于最高频率fc的两倍，即,如果确知测试信号中的高频成分是由噪声干扰引起的，为满足采样定理并不使数据过长，常在信号采样前使用低通滤波器先进行滤波预处理，人为降低信号中的最高频率，这种滤波器称为抗混滤波器。而如果只对某一频带感兴趣，那么可用低通滤波器或带通滤波器滤掉其它频率成分，这样就可以避免混叠并减少信号中其它成分的干扰。,模拟信号经采样后在时间上已离散，但其幅值仍为连续的模拟电压值。量化是对信号的幅值量化，就是将模拟信号x(t)在nTs时刻采样的电压幅值x(t=nTs)变成为离散的二进制数码，其二进制数码只能表达有限个相应的离散电平（称之为量化电平）。 把采样信号x(nTs)经过舍入或者截尾的方法变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。若信号x(t)可能出现的最大值为A，令其分为D个间隔，则每个间隔的长度为R=A/D，R称为量化增长或量化步长。当采样信号x(nTs)落在某一小间隔内，经过舍入或截尾的方法而变为有限值时，则产生量化误差。 一般又把量化误差看成模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而又称之为舍入噪声或截尾噪声。量化增量R越大，则量化误差越大，量化增量大小，一般取决于计算机A/D转换卡的位数。,2.4.4 量化和量化误差,2.4离散傅里叶变换,截断、泄露和窗函数 信号的长度可能很长甚至是无限的，而计算机处理的数据长度是有限的，因此只能从信号中提取其中一段来考察分析，并以此来考察整个信号历程，这称为时域截断或“加窗”。“窗”的意思是指透过“窗口”能够“看到”外景（原始信号）的一部分，而把“窗口”以外的信号均视为零。,2.4离散傅里叶变换,2.4.5 截断、泄露和窗函数,2.4离散傅里叶变换,频谱能量泄露： 把原来集中的能量分散到附近的频带范围的现象。,WR(jf)为一个无限带宽信号，其幅值随f 逐渐衰减，这样频谱有主瓣和旁瓣。,矩形窗函数,主瓣,旁瓣,f,2.4离散傅里叶变换,如果窗的宽度越大，即时间序列截取的越长，其频谱的旁瓣占的比例越小。,当窗口长度为无限大时，即截取所有的时间序列，则信号的频谱WR(jf) 变为(jf) ，即只有主瓣，而没有旁瓣。,旁瓣,旁瓣,f,f,2.4离散傅里叶变换,2.4离散傅里叶变换,泄漏是不可避免的，因为任何的窗函数的频谱都不会变为(jf),选择好的窗函数，尽可能减少能量的泄漏。,好的窗函数，就是窗函数的频谱尽可能衰减的快，即主瓣和旁瓣的比例尽可能的大。,频率分辨率、栅栏效应和整周期截取 频率采样间隔f是频率分辨力的指标。间隔越小，频率分辨力越高。 f和分析的时间信号长度T的关系是,2.4离散傅里叶变换,谱线的位置,即在基频1/T的整数倍上才有谱线，离散谱线之间的谱线显示不出来。这样即使是重要的频率成分也可能被忽略，如同栅栏一样，一部分景物被栅栏所遮挡，故称“栅栏效应”。 在分析简谐信号的场合下，需要了解某特定频率f0的幅值，希望DFT谱线落在f0上。单纯减小f并不一定会使谱线落在f0上。根据DFT原理，谱线落在f0处的条件是：f0/ f等于整数。考虑到f=1/T是分析时长T的倒数，简谐信号的周期T0是其频率f0的倒数，因此只有截取的信号长度T正好等于信号周期的整数倍时，才可能使分析谱线落在简谐信号的频率上，才能获得准确的频谱，这个就是“整周期截取”。显然这个结论适用于所有的周期信号。,2.4离散傅里叶变换,常用的窗函数,1）矩形窗,2）三角窗,2.4离散傅里叶变换,3）汉宁窗,时域表达式,相应的频谱,2.4离散傅里叶变换,4）海明窗 又称为改进的升余弦窗，其本质与汉宁窗一样，只是系数不同。,其时域表达式为：,相应的频谱为：,