5离散时间信号的傅里叶变换.ppt
第五章 离散时间傅立叶变换,本章内容： 离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换；对偶性；卷积性与相乘性；LTI系统的频域响应与系统的频域分析；,通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的分析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号通过系统传输的不失真条件。,5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换,一、从DFS到DTFT,让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与40时，其频谱的变化情况如下图所示。,在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到:当信号周期N增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的谱线变密。,当 时,有 ,而从时域看,当周期信号的周期 时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频谱.（如动画5-1所示）,对周期信号 由DFS有,当 时， ，令 有,DTFT,显然， 对 是以 为周期的。,参看动画5-2,将其与 表达式比较有：,于是：当 时， ， ， ， 。,当k在一个周期范围内变化时， 在 范围内变化，所以积分区间是 。表明:,离散时间序列可以分解为频率在 区间上连续分布的、幅度 为 的复指数分量的线性组合。,结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：,二.常用信号的离散时间傅立叶变换,1.,通常 是复函数。,的模和相位：,信号的幅频特性如下：,由图可以得到:,时,信号表现为低通特性, 为单调指数衰减;,时,信号表现为高通特性, 为摆动指数衰减。,2、,DTFT的收敛问题,三、,当序列是无限长序列时,由于 表达式是无穷项级数,当然会存在收敛问题.,，则 存在，且级数一致收敛于 。,，则级数以均方误差最小准则收敛于 。,5.2 周期信号的DTFT,对连续时间信号,有 由此推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以 为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串:,对其作反变换有:,可见：,由DFS，有 ，,因此,周期信号 可表示为DTFT,从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的.,例：,不一定是周期的,当 时， 才是周期的.,的频谱如图所示：,5.3 离散时间傅立叶变换的性质,通过对DTFT性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。,若 ，则 。,若 ，,则：,若 ，则 。,五.共轭对称性,若 ，则 。,六.时域差分与求和,例： ，,七.时域内插,定义：,信号时频域的约束关系可参见动画6,八.频域微分,九.Parseval定理:,对非周期离散时间信号：,称为 的能量谱密度函数。,对周期离散时间信号：,称为周期信号的功率谱。,5.4 卷积特性,若 ，则 。,即是系统的频率特性。,说明:该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。,例:求和特性的证明,5.5 相乘性质,由于 和 都是以 为周期的，因此上述卷积称为周期卷积。,例：y(n) = x(n)·c(n)，其中,调制信号的过程可见动画7,5.7 对偶性,一.DFS的对偶性,，,由于 本身也是以N为周期的序列,当然也可以将其展开成DFS形式,即： 或,这表明 序列的DFS系数就是,即：,利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质对偶到频域得到相应的性质.,例1:从时移到频移,，,利用时移性质有:,由对偶性有:,即是频移特性。,二.DTFT与CFS间的对偶,由 知 是一个以 为周期的连续函数。,若在时域构造一个以 为周期的连续时间信号 则可将其表示为CFS:,，,比较 和 的表达式可以看出 ，这表明：,若,则,利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或者反之。,例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分,CFS的时域微分特性,若 ，则,DTFT的频域微分特性,例:从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性,如图所示对偶关系示意图 可参看动画5-8 5-9,例：求 的 。, ，,5.8 由LCCDE表征的系统,工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程LCCDE来表征:,对LCCDE描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。,方法一: 可以从求解 时的差分方程得到 ,而将 变换而求得 。,方法二: 可以通过求出 时方程的解而得到 因为 是LTI系统的特征函数, 此时的 。,方法三: 对方程两边进行DTFT变换,可得到:,通过反变换求得 。,例：,本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章完全对应,许多结论也很类似通过对DTFT性质的讨论揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质与特性在CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT总是以2为周期的.通过卷积的讨论,对LTI系统建立了频域分析的方法.同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。 对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要内在联系,提供了重要的理论根据.深入理解并恰当运用对偶性,对深刻掌握CFS,DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。 与连续时间LTI系统一样,由LCCDE描述的LTI系统可以很方便的由方程得到系统的频率响应函数 ，实现系统的频域分析,其基本过程及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.,
