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第五章 连续体力学,连续体包括弹性固体、流体（液体和气体） 理想模型：刚体、弹性体、理想流体 本章重点介绍刚体和理想流体的力学规律。,刚体 无论受多大的力，都不发生形变的物体称为刚体。 刚体是一种理想模型，刚体上的任两点间的距离不 会改变。,§5-1 刚体运动学,一、刚体的平动与转动,2. 平动 运动刚体上任意两点连线在运动中保持平行，这 样的运动称为刚体的平动。,注意： 刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。,特征：,各个质点的位移、速度、加速度相等。可以用一 点代表刚体的运动。由质点的力学规律解决刚体 的平动问题。 例：黑板擦、电梯、活塞的运动,3. 转动-刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。 4. 定轴转动转轴相对参考系固定不动的转动。,二、刚体定轴转动的角量描述,平均角速度,角速度,角加速度,角位置： 角位移:,复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加,位矢从ox 轴逆时针方向转动时角位置 为正, 反之为负.,刚体作匀变速转动时，相应公式如下：,由于在定轴转动中轴的方位不变，故 只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。,角量与线量的关系,1） 各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2） 各点的线位移、线速度、线加速度不同。,定轴转动的特征：,线速度与角速度之间的矢量关系为:,例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。,解: (1),(2), = (2+4t3)= 2+4X（0.55)3 =2.67(rad),( 舍去t = 0 和 t = 0.55 ),此时砂轮转过的角度,例2一细棒绕O点自由转动，并知 ,L为棒长. 求: (1)棒自水平静止开始运动, 时, ? (2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大?,解:(1)棒做变加速运动,§5-2 刚体的角动量和角动量原理,一、刚体的角动量及转动惯量,考察一个以角速度绕OZ轴转动的均匀细棒,均匀细棒对O点的角动量,均匀细棒对O点的角动量在Z轴上的分量,定义：刚体转动惯量,1、刚体的角动量,2、转动惯量的计算,若质量离散分布：（质点，质点系）,若质量连续分布：,J 的单位：kgm2,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,dm为质量元，简称质元。取法如下：,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,例1 求质量为m，半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。,解: 设线密度为,J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。,解：设面密度为 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,（适用圆柱对轴线的转动惯量。）,例3 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,可见，与转动惯量有关的因素： 转轴的位置 刚体的质量 刚体的形状(质量分布),2、平行轴定理,若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：,JoJcmd2,3、正交轴定理,JzJx Jy,对于均匀圆盘：,二、作用于刚体的力矩,1. 作用于刚体的力对空间某点A的力矩,2. 作用于刚体的力对转轴的力矩,(1)力在转动平面内。,(2)力不在转动平面内。,有两个方向，Mz有正负,Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。,与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩 与转轴平行的力对转轴不产生力矩 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩,3. 当有n 个力作用于刚体，则,即定轴转动的刚体所受到的对转轴的合力矩应等于各力对转轴的力矩的代数和。,4. 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。,总结,四、 刚体的角动量原理,刚体质点系(由无限多个质元构成的连续体),质点系的角动量原理,五. 刚体的角动量守恒定律,注意: (1)定轴转动时，M外=0时，J=常量，即刚体保持静止或匀 角速转动。,例4 光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M的均匀细棒，以 速度v运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕 O点转动，试求 (1) 细棒绕O点的转动惯量； (2) 碰前棒对O点的角动量； (3) 碰后棒转动的角速度。,(2) 碰前棒作平动，对O点的角动量按质心处理。故有,解:(1),(3)设碰后的角速度为 .碰撞中外力矩为零,角动量守恒， 所以,(也可由平行轴定理求J),例5一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始角速度为0 ，棒与桌面的摩擦系数为。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。 (2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。,解：,(1)在离O点r处取微元dr，则,（2）细棒上距O点r处长dr的线元所受的摩擦力和对O点的 摩擦力矩：,（3）由角动量原理,例6太阳自转周期为25.3天，若在演化过程中最后缩为 半径5km中子星，而无质量损失，试估算其新的自转周期。,自转角速度,转动惯量,设缩后的角速度为 ，转动惯量为,解:已知,由角动量守恒得,§5-3 刚体的定轴转动定律,对于作定轴转动的刚体，满足：,沿固定轴，其方向由 的符号决定。,又因：,若J为恒量，则有上面二式得：,此式称为刚体的转动定律。它表明：刚体的角加速度正比于刚体所受合外力矩，反比于其转动惯量。,讨论：1、 相对同一固定轴而言， 同号。,2、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴 为惯性系。,3、M一定：作用不同刚体上，J 大时， 小 ， 小， 转速不宜改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯 性小。故转动惯量是物体转动惯性大小的量度。,刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律，下面举例说明转动定律的应用。,例1 如图所示，m1，m2，R已知。求m2的加速度a；轮子的角加速度.,解:,联合解得,又有,对m1分析力矩；对m2分析力,例2 如图所示。m,l已知o点无摩擦.求:(1)刚体绕轴O的转动惯量。(2)杆与竖直方向成角时,小球的角速度和法向加速度.,(2)杆与竖直方向成角时,合外力矩:,分离变量积分得:,小球的法向加速度,解:(1),由转动定律得:,例3如图所示m1，m2 ，M1，M2，R1，R2已知 且m1 m2 试由牛顿 定律和转动定律写出系统的运动方程，求出m2的加速度和 张力T1 ,T2, T3,解：设m2的加速度的大小为a，方向向上，则m1的加速度的大小也为a，方向向下，滑轮与绳不打滑，则滑轮与绳的加速度为：,两端相加：,本题中,当M 1,M2质量可以忽略时T1= T2= T3,(略),(略),力矩和转动惯量必须对同一转轴而言 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度的正负 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程,注意：,转动定律的应用：,隔离法分析研究对象 建立坐标系 列出分量运动方程,1、刚体的动能,§5-4 定轴转动刚体的动能定理,平动动能,转动动能,即：,也可表示为：,一、刚体的动能和力矩的功,注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。,一般刚体动能：,如图所示，在外力 作用下，刚体转过.求力矩作的功.设力在转动面内,2、力矩的功,力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的积分。,称为力矩的功。,特例；恒力矩的功 注意：力矩的功与力的功实质相同，表达式不同。,二.定轴转动的动能定理,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。,例1 冲床的飞轮m=600kg，飞轮半径r=0.4m.正常转速为 n1=240rev/min.冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔 冲头做的功。,解 冲孔前后的角速度分别表示为1和2,孔铁板阻力对冲头做功：,故冲头做功：,质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一),质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二),§5-6 固体的弹性,一、弹性体中的应力和应变,在外力作用下固体的形状和体积将发生变化，外力撤消后 变化能够消失的物体，称为弹性体。 在外力作用下，弹性体产生相应的形变称应变；弹性体的恢复力称应力,在SI中，单位为Pa(帕斯卡），即N/m2,1.应力,应力物体中各部分之间的相互作用的内力。,法向分量-正应力(压力或张力),切向分量-剪切应力,K-体弹性模量 1/K压缩系数,2.应变 物体受外力时发生的相对形变，即体积、长度和形状的变化与原有值的比。,体应变“流体静水压”,在弹性限度内,剪切应变,G剪切模量(切变模量),在弹性限度内,长度应变,二.弹性体的拉伸和压缩,剪切形变的胡克定律,Y-杨氏弹性模量,若杆的横截面积为S，两端的应力为,在弹性限度内，应力的大小：,弹性体的胡克定律,横向应变,泊松比,一般的，横向应变比纵向应变在绝对值上小35倍。,拉伸曲线,弹性势能,设 -形变. 形变前=0，形变后=l， 则胡克定律,忽略S的变化，则外力的功,若取未形变时为零势能点，则,弹性势能密度=应力与应变乘积之半,类似的，剪切形变弹性势能,剪切形变弹性势能密度与剪切角的平方成正比。,§5-7 流体力学,一、流体的连续性方程 流体：包括液体和气体。 特性：没有固定形状，极易发生相对运动。,研究流体的方法： (a).拉格朗日法：求各个质元的的轨迹 (b).欧勒法：空间某点的v(x,y,z,t),1.流线和流管：,流线一系列假想的曲线。形象化的描述流速场v(x,y,z,t)。每一时刻，曲线上各点的切线方向与该处流体质元的速度方向一致。流速场中每一点都有确定的流速方向，流线是不会相交的。,流管在流体内一个微小闭合曲线，通过其上各点的流线所围的细管。由于流线不会相交，流管内、外的流体不会穿过管壁。,所以闭合曲面S 质量流量为,上式应等于单位时间内, S 所围体积V内 流体质量的减少.即,所以，,连续性方程,普遍的规律，质量守恒定律在流体力学中的表现.,5. 定常流动的连续性方程,与t 无关，即,连续性方程变为,故有,即,流管内，外力作的功为,理想流体二段体积相等，即,得：,定常流动时机械能的变化,忽略内摩擦,上式为伯努力方程（Bemrnoulli equation）。 即 动能、势能和压强之和为一常量。,三、粘滞性流体的流动,实际流体有内摩 擦力存在，流动时，相邻两层之间 会产生切向内摩擦力（粘滞力）f。流速有一定分布。 垂直于流速方向有一速率梯度。两层之间粘滞力f ， 有,上式为粘滞定律。为粘滞系数（粘度），单位为Pa.s 或N.s/m2.,由于内摩引起能量损耗，伯努力利方程应加修正项， 设损耗能W，有,当粘滞性流体在半径为R的圆形管道中作定常流动， v离轴线 r的变化规律为,总体积流量为,上式为泊肃叶定律（Poiseuille low）。,在粘性流体中，半径为r的球体运动时（v很小）受 到的粘滞阻力为,上式为斯托克斯公式（Stokes formulation）。,雷诺（Reynolds）数Re为,界临雷诺数Rec为,层流向湍流转变的判据: 当 Re Rec 时为湍流.,