概率论的基础知识.ppt

,概论论的基础知识,6,目录,第二部分,随机变量及其分布,第一部分,概率基础知识,概率基础知识,事件 （一）随机现象 1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 随机现象的特点： 随机现象的结果至少有两个； 至于哪一个出现，事先人们并不知道。 2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽样单元。 3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为（读Omega ）。 认识一个随机现象首要就是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。,概率基础知识,事件 例 一天内进某超市的顾客数: =0,1,2,······ 一顾客在超市购买的商品数: =0,1,2,······ 一顾客在超市排队等候付款的时间: =t:t 0 一颗麦穗上长着的麦粒个数: =0,1,2,······ 新产品在未来市场的占有率: =0,1 一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间: =t:t 0 加工机构轴的直径尺寸: = 一罐午餐肉的重量： = G±g ,概率基础知识,事件 （二）随机事件 定义：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用 大写字母A、B、C 等表示。 1、随机事件的特征 任一事件A是相应样本空间中的一个子集； 当A中某一样本点发生,那么事件A就发生； 事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用的语言应是明确无误的； 任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是，它对应的事件就是必然事件，仍用表示； 任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为（读作fai ）。,概率基础知识,事件 2、随机事件之间的关系 包含：【在一个随机现象中有两个事件A和B，若事件A中的任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或者B包含A，记为A B,或者B A 互不相容： 【若事件A与B没有相同样本点，则称事件A与B互不相容。】（互斥） 两个事件间的互不相容性可推广到三个或更多个事件间的互不相容。,概率基础知识,事件 相等：【若事件A与B有相同的样本点，则称事件A与B相等，记着A=B】 例 掷骰子：=1，2，3，4，5，6，设事件A =“等于小于4的数”=1，2，3，4，事件B =“偶数”=2，4，6，显然A与B有相同的样本点2，4，但事件A与B 并不相等。可定义为“若事件A与B有完全相同的样本点，则称事件A与B 相等” 若两个事件相当，他们必定互相包含，即A=B，则有A B ，A B；反之，若两个事件互相包含，则它们相等。,概率基础知识,事件 （三）事件的运算 对立事件（又称为互逆事件或逆事件）【在一个随机想象中，是样品空间，A为事件，由在中而不在A中的样本点组成的事件称为A的（互逆事件）。记为 （读非A）。】,事件A与B的并（又称为和事件）【由事件A与事件B中所有样本点组成的新事件称为A与B的并，记为AB或A+B。并事件意味着事件A与事件B至少有一个发生。】,概率基础知识,事件 （三）事件的运算 事件A与B的交（又称为积事件）【由事件A与事件B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为AB，简记为AB。交事件意味着事件A与事件B同时发生。】,事件A对B的差【由在事件A中而不在事件B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为AB。】,概率基础知识,事件,事件运算具有如下性质： 1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC) 4、对偶律： 以上性质都可推广到多个事件运算中去。,概率基础知识,概率,（四）概率 事件发生可能性大小的度量 一个随机事件A发生可能性的大小用这个事件的概率P（A）来表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率越大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。 特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。即： P() = 0 P() = 1,概率基础知识,概率,二、概率的古典定义 古典定义 用概率的古典定义确定概率方法的要点如下： （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有 n 个样本点； （2）每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）； （3）若被考察的事件A含有 k个样本点，则事件A的概率定义为：,概率基础知识,概率,乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1*n2种方法。 例如：从A城去B城有3条旅游路线，从B城去C城有2条旅游路线，那么，从A城经B城到C城有3 X 2 = 6 条旅游路线。 加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 例如：从A城到B城有三类交通工具，汽车，火车和飞机。汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从A城到B城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。 可以推广到多个步骤和途径事件。,概率基础知识,概率,概率基础知识,概率,概率基础知识,概率,（二）条件概率、概率的乘法法则及事件的独立性 （1）条件概率与概率的乘法法则 条件概率要涉及两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。条件概率的计算公式为： 性质6：（乘法法则）对任意两个随机事件A与B，有 P（AB）=P(B)P（A|B） P(B) 0 =P(A)P（B|A） P(A) 0,概率基础知识,概率,例 一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件，质量状况如下表所示 从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 如果取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率,概率基础知识,概率,解：设 A = 取出的一个为正品 B = 取出的一个为供应商甲供应的配件 （1） （2） （3） （4）,概率基础知识,概率,（2）独立性与独立事件的概率 设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不依赖另一个事件发生与否，则称事件A与B相互独立。 性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为 性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。,随机变量及其分布,随机变量,1、定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z等表示随机变量，而随机变量的值用小写字母 x、y、z表示 。 例如，在灯泡寿命试验中，令X为“灯泡寿命”(小时)，则X为一随机变量。 X500，X1000，800X1200等表示了不同的随机事件。 2、分类：,假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则称此随机变量为离散随机变量。,假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间（a，b），则称此随机变量为连续随机变量。,产品质量特性是表征产品性能的指标，产品性能一般具有随机性，所有质量特性就系一个随机变量,随机变量及其分布,随机变量分布,随机变量及其分布,随机变量分布,随机变量及其分布,随机变量分布,随机变量及其分布,随机变量均值和方差的运算性质,随机变量及其分布,常用离散分布二项分布,1）重复进行 n 次试验； 2） n 次试验间相互独立； 3）每次试验仅有两个可能结果； 4）成功的概率为p，失败的概率为1-p； 在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，则有概率密度函数为： 这个分布称为二项分布，记为b（n，p）。 均值：E(x)=np 方差： Var(x)= np (1-p),随机变量及其分布,常用离散分布二项分布,随机变量及其分布,常用离散分布泊松分布,随机变量及其分布,常用离散分布超几何分布,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,1、正态分布的概率密度函数 它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线。 正态分布有两个参数和，常记为N（ ，2）。 其中为分布的均值 （ 读作miu） 为分布的标准差,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,0.9357,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、标准正态分布的一些运算公式 P( Ua ) = P(U a ) = 1-(a) ( - a) = 1-(a) P(a U b) = (b) -(a) P( |U|a ) = P( -a U a) = (a) -(-a) = 2 (a) -1,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、标准正态分布的分位数 一般说来，对任意介于0与1之间的实数，标准正态分布N（0，1）的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为1-，用概率的语言来说， U的分位数u 是满足下列等式的实数 P( U u ) = ,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、正态分布的标准转化 某产品的质量特性 X N(16, 2 ) ,若要求P(12 X 20)0.8，则 最大值应为（ ） A、u 0.9 / 4 B、4 / u 0.9 C、 u 0.9 / 2 D、2 / u 0.9 解：,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,2、正态分布的标准转化 产品质量特性的不合格品率的计算 1、质量特性 X 的分布，在受控的情况下，常为正态分布； 2、产品的规范限，常包括上规范限TU和下规范限TL。 产品质量特性的不合格品率为： p = pL +pU,随机变量及其分布,常用连续分布正态分布,计算上下规格限： USL=70+3=73 LSL =70-3=67,(1-(2)+(1-(2)=2-2(2),查标准正态分布函数表的(2)=0.9772,随机变量及其分布,常用连续分布均匀分布,均匀分布在两端点a,b之间有一个恒定的概率密度函数，即在（a，b）上概率密度函数是一个常数，见下公式。则称“在区间（a，b）上的均匀分布” 其均值、方差为：,随机变量及其分布,常用连续分布均匀分布,例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30，7:45 等时刻，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率。 解：依题意可知，X U (0 ,30)，即 为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 ，到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站，则 ：,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,随机变量及其分布,常用连续分布指数分布,例： 某种热水器首次发生故障的时间T（单位：小时）服从=0.002的指数分布，则其密度函数和分布函数为 求该热水器在300500小时内需要维修的概率： 解：,随机变量及其分布,中心极限定理,