7.1-7.2平面应力状态.ppt

第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论7.1 7.1 概述概述1 1、问题的提出、问题的提出 弯曲时，同一横截面上弯曲时，同一横截面上不同点不同点上的应力是不同的上的应力是不同的IMy 轴向拉压时，轴向拉压时，同一点同一点不同方向不同方向面上的应力也是面上的应力也是各不相同的各不相同的2sin21cos2Fp应力取决于：应力取决于：点的位置点的位置截面的方向截面的方向ABmmnn二、单元体法二、单元体法单元体（单元体（体）体）由于单元体无穷小，可认为由于单元体无穷小，可认为1 1、单元体各面上的应力均匀分布、单元体各面上的应力均匀分布2 2、单元体的两个平行面上的应力相同、单元体的两个平行面上的应力相同1 1、单元体法的基本思想、单元体法的基本思想dxdxdydydzdz结论：结论：对单元体可用截面法，计算任意斜截面对单元体可用截面法，计算任意斜截面上的应力。上的应力。2 2、基本单元体、基本单元体单元体上的应力可以用基本变形单元体上的应力可以用基本变形理论求得，称为理论求得，称为基本单元体。基本单元体。AAIyMbISFzzS*4FlMSF2F2FA3 3、主平面，主应力，主单元体、主平面，主应力，主单元体主平面：主平面：切应力等于零的截面切应力等于零的截面主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主单元体：主单元体：主平面构成的单元体主平面构成的单元体 对于构件上任意一点，均有对于构件上任意一点，均有唯一的唯一的主单元体主单元体图示单元体的前、后面，即为图示单元体的前、后面，即为主平面主平面312A有三个有三个主应力，记为主应力，记为321,（主应力主应力按照代数值大小排列）按照代数值大小排列）321三、三、单向单向 二向二向 三向三向A123 主单元体中有一个主应力等于零，主单元体中有一个主应力等于零，其余两个主应力不等于零。其余两个主应力不等于零。主单元体中有一个主应力不等于零，主单元体中有一个主应力不等于零，其余两个主应力等于零。其余两个主应力等于零。主单元体的三个主应力都不等于零。主单元体的三个主应力都不等于零。7.7.2 2 平面应力状态分析平面应力状态分析一、概述一、概述二向二向主单元体中有一个主应力等于零，两个主应力不等于零。主单元体中有一个主应力等于零，两个主应力不等于零。A1212AyxxyyxAyxxyyx二向二向单元体上有一对平行面上没有应力。单元体上有一对平行面上没有应力。二、解析法二、解析法分析内容：求单元体上任意斜截面上应力，从分析内容：求单元体上任意斜截面上应力，从而确定而确定主平面，主应力，主单元体以及最大切主平面，主应力，主单元体以及最大切应力大小和所在截面。应力大小和所在截面。yxxyyxabcdnfe已知：已知：xyyx,斜截面斜截面ef 的方位角的方位角1 1、斜截面、斜截面ef 上的应力上的应力解解:用用efef截面将单元体截开截面将单元体截开,取取aefaef为研究对象。为研究对象。yxxyyxabcdfen有关物理量的符号规定：有关物理量的符号规定：正应力正应力：拉伸为正，压缩为负：拉伸为正，压缩为负切应力切应力：绕研究对象顺时针：绕研究对象顺时针转为正，逆时针转为负转为正，逆时针转为负 角角：从：从 x 轴正向轴正向 n，逆时针转为正。逆时针转为正。afeyxxyyxyxxyyxabcd 0 nF0sinsincossincoscossincosdAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0sinsincossinsincoscoscosdAdAdAdAdAyxyxxy注意到：注意到：，得：，得：xyyxcossin2sincos22yxyx22sincossincosxyyxyxxyyxabcdcossin2sincos22xyyx22sincossincosxyyx上式可进一步简化为：上式可进一步简化为：afeyxxyyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2cos121cos22cos121sin2利用：利用：2sin21cossin2 2、主平面，主应力主平面，主应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx22222cossinddxyyx主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主平面：主平面：切应力等于零的截面切应力等于零的截面由定义：由定义：结论：主应力是正应力的极值。结论：主应力是正应力的极值。主平面位置主平面位置:yxxyarctan221022210yxxyarctanyxxytan2202sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxyxxytan220220202212tan112cosxyyxyx22020022tan12tan2sinxyyxxy2222xyyxyxmaxminAyxxyyxmaxmin0yxxyarctan221022210yxxyarctan主平面位置主平面位置:2222xyyxyxmaxmin2cos2sin2xyyx3 3、最大切应力、最大切应力2sin2cosxyyxdd0|1dd由由:xyyxtan221得得:112sin,2cos22max2xyyx)-(2/131max总结：总结：主平面位置主平面位置:yxxytan2202222xyyxyxmaxmin)-(2/131max2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx确定单元体的主应力和主平面位置并确定单元体的主应力和主平面位置并在单元体中绘出在单元体中绘出解：解：MPax25MPay75MPaxy40主平面位置主平面位置:yxxytan2208.07525)40(200034.14166.382或或00067.7033.19或或00例题：例题：MPa25MPa75MPa40MPa25MPa75MPa402222xyyxyxmaxminMPax25MPay75MPaxy4022402752527525maxminMPamax39MPamin8900067.7033.19或或0001033.1902067.702010主平面位置主平面位置:MPa391MPa893主平面和主平面和?MPa25MPa75MPa40022sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx320101MPa25MPa75MPa4001033.1925(75)25(75)cos(2 19.33)(40)sin(2 19.33)3922MPa 0119.33三、图解法三、图解法2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx将上述公式改写为将上述公式改写为:2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx等式两边平方等式两边平方,求和求和,得得:222222xyyxyx1 1、理论基础、理论基础222222xyyxyx为已知量为已知量xyyx,为未知变量为未知变量,为纵坐标为纵坐标为横坐标为横坐标以以,上式是以上式是以 为圆心为圆心,0,2yx 为半径的圆。为半径的圆。222xyyx这一个圆，称为应力圆。这一个圆，称为应力圆。R应力圆应力圆 xy 2c222222xyyxyx 圆心在圆心在0,2yx,半径半径 的圆。的圆。222xyyxR4、以以C为圆心，为圆心，CD为为半径作圆半径作圆Ayxxyyx 1、由、由 得得D点点 ),(xyx 2、由、由 得得D点点 ),(yxy3、连连DD交交 轴轴 于于C 点点应力圆应力圆DxxyDyyxCDxxyDyyxAOBCyxxyyxE21 1）求任意斜截面）求任意斜截面m m上的应力上的应力2 2、应力圆的应用、应力圆的应用mm从从D点，沿圆周点，沿圆周斜截面斜截面m m上的上的正应力和切应力正应力和切应力。DxxyDyyxAOBC022 2）确定主平面的位）确定主平面的位置和主应力的大小置和主应力的大小A1B1A1 最大主应力所在截面最大主应力所在截面 主平面主平面B1 最大主应力所在截面最大主应力所在截面 主平面主平面2222xyyxyxmaxmin1maxCAOC 1minCBOC AyxxyyxDxxyDyyxAOBC02A1B1yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置0maxmin3 3）确定最大切应力的大小）确定最大切应力的大小 和所在截面的位置和所在截面的位置DxxyDyyxAOBC02A1B1G2G1G1 ，G2 最大切应力最大切应力 所在截面所在截面 显然有：显然有：22max2xyyx045截面和主平面的夹角为截面和主平面的夹角为截面上还有正应力截面上还有正应力2yx有关应力圆结论：有关应力圆结论：DxxyDyyxCAOBRAyxxyyx一点的应力圆完全确一点的应力圆完全确定了一点的应力状态。定了一点的应力状态。确定单元体的主应力和主平面确定单元体的主应力和主平面解：解：MPax25MPay75MPaxy40例题：例题：D40,25 D40,75CMPa25MPa75MPa40主平面位置主平面位置:0066.3820033.19D40,25 D40,75C1302013yxxytan2208.07525)40(2MPa25MPa75MPa40DDC130222122xyyxyx2240275252752503.6425MPa03.3922322xyyxyx03.6425 MPa03.89013MPa25MPa75MPa407.7.3 3 空间应力状态空间应力状态AF312A一、三向应力状态的实例一、三向应力状态的实例三向受压应力状态三向受压应力状态FFAA132三向受拉应力状态三向受拉应力状态二、三向应力状态分析二、三向应力状态分析一般的三向应力状态分析比较复杂，一般的三向应力状态分析比较复杂，我们仅讨论三个主应力为已知的情况。我们仅讨论三个主应力为已知的情况。A231yxz x y z xy yx yz zy zx xzabccba321231abccba考虑平行于考虑平行于 的任意斜截面上的应力的任意斜截面上的应力33不会在该截面上产生任何应力不会在该截面上产生任何应力该截面上的应力的分析将完全等同于二向应力状态的该截面上的应力的分析将完全等同于二向应力状态的应力分析应力分析231abccba考虑平行于考虑平行于 的任意斜截面上的应力的任意斜截面上的应力3abccba32112bc平行于平行于 的任意斜截面上的应力，的任意斜截面上的应力，与与 无关。无关。33O1212bc所有平行于所有平行于 的斜截面上的的斜截面上的应力可用由应力可用由 所决定的所决定的应力圆来表示。应力圆来表示。321和和O12231同理，所有平行于同理，所有平行于 的斜截的斜截面上的应力与面上的应力与 无关，可由无关，可由 所决定的应力圆来表所决定的应力圆来表示。示。132和和13同理，所有平行于同理，所有平行于 的斜截的斜截面上的应力与面上的应力与 无关，可由无关，可由 所决定的应力圆来表所决定的应力圆来表示。示。231和和2231O123进一步研究表明，任意斜截面进一步研究表明，任意斜截面上的应力位于三个应力圆之间上的应力位于三个应力圆之间的阴影区内。的阴影区内。231O123231O123由三向应力状态的应力圆可得到如下结论：由三向应力状态的应力圆可得到如下结论：1 1、min3max1,2 2、最大切应力的大小为：、最大切应力的大小为：31max21所在截面平行于所在截面平行于 ，与，与 所在主平面成所在主平面成 夹角。夹角。231及及045max确定图示单元体的主应力和最确定图示单元体的主应力和最大切应力大切应力解：解：例题：例题：AMpa40Mpa60该应力状态是一个主应力该应力状态是一个主应力已知的三向应力状态。已知的三向应力状态。可以分解为：一个单向应力可以分解为：一个单向应力状态状态+一个平面应力状态一个平面应力状态AMpa60AMpa40+AMpa60AMpa40该单元体的三个主应力为：该单元体的三个主应力为：Mpa601Mpa402Mpa4033121max406021Mpa50最大切应力为：最大切应力为：确定图示单元体的主应力和最确定图示单元体的主应力和最大切应力大切应力解：解：例题：例题：该应力状态是一个主应力该应力状态是一个主应力已知的三向应力状态。已知的三向应力状态。可以分解为：一个单向应力可以分解为：一个单向应力状态状态+一个平面应力状态一个平面应力状态A20+A20202040Mpa4020204020202222xyyxyxmaxmin22202204022040maxminMPamax46MPamin26对图示的平面应力状态对图示的平面应力状态A20402020MPamax46MPamin26该三向应力状态的三个该三向应力状态的三个主应力为：主应力为：Mpa461Mpa202Mpa2633121max264621Mpa36最大切应力为：最大切应力为：A20202040Mpa+7.7.4 4 应力和应变的关系应力和应变的关系321,一、一、已知的情况已知的情况A231求求:图示单元体沿图示单元体沿 和方向的应变。和方向的应变。A12AA3三个主应力单独作用时，单元体沿三个主应力单独作用时，单元体沿 和方和方向的应变可由向的应变可由拉压拉压E11E12E13E21 E22 E23 E33E31 E32 三个主应力共同作用时，由载荷叠加原理单元体沿三个主应力共同作用时，由载荷叠加原理单元体沿 方向方向的应变为：的应变为：32111111 EA231 三个主应力已知时，单元三个主应力已知时，单元体的三个主应变为：体的三个主应变为：32111E31221E21331Eyxz x y z xy yx yz zy zx xz二、普遍情况二、普遍情况zyxxE1zxyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGxzxz正应变只与正应力有关正应变只与正应力有关切应变只与切应力有关切应变只与切应力有关特例特例:平面应力状态平面应力状态yxxE1xyyE1Gxyxy yzxy xxy 三、体积应变三、体积应变231dxdxdydydzdz变形前正六面体的体积为变形前正六面体的体积为:dzdydxV变形后正六面体的体积为变形后正六面体的体积为:dzdydxV321111dzdydx3211体积应变体积应变 :VVV 32132111E31221E21331E32132121E得到得到:令令:3321m平均主应力平均主应力213EK体积弹性模量体积弹性模量或或:KmKm得到得到:体积应变仅与平均主应力有关体积应变仅与平均主应力有关,与三个主应力的各自与三个主应力的各自数值无直接关系。数值无直接关系。钢块上凹坑的直径为钢块上凹坑的直径为50.01mm，凹坑内放置一凹坑内放置一直径为直径为50mm的钢制的钢制圆柱，圆柱受圆柱，圆柱受F=300kN的的轴向压力，假设轴向压力，假设钢块不变形。钢块不变形。例题：例题：确定圆柱体的主应力确定圆柱体的主应力解：解：pp圆柱体横截面上的应力为：圆柱体横截面上的应力为：MPaAF1531050410306233在轴向压缩下，圆柱体将产生横向在轴向压缩下，圆柱体将产生横向膨胀，产生均匀的径向压力膨胀，产生均匀的径向压力p在均匀的径向压力在均匀的径向压力p作用下，作用下，圆柱圆柱体中任一点的径向应力和周向应体中任一点的径向应力和周向应力都等于力都等于pp21pOC-ppp pp p由于钢块不变形，由于钢块不变形，42102505001.5013221E代入前面的结果，有代入前面的结果，有23Epp49102102001533.0MPapp解得：解得：MPap43.8圆柱体任一点的主应力为：圆柱体任一点的主应力为：MPap43.821MPa1533翼缘翼缘腹腹板板7.7.6 6和和7.8 7.8 强度理论及相当应力及应用强度理论及相当应力及应用 ZWMmaxmax工字梁弯曲时强度计算工字梁弯曲时强度计算翼缘的最外层翼缘的最外层A点点腹板中点腹板中点B点点AB maxAmaxBmaxC翼缘和腹板交界处的翼缘和腹板交界处的C点点Cmaxmax强度条件？强度条件？一、实例一、实例C复杂应力状态下的强度条件？复杂应力状态下的强度条件？二、强度理论二、强度理论 利用简单拉伸试验结果来建立复杂应力状态的利用简单拉伸试验结果来建立复杂应力状态的强度条件的理论。强度条件的理论。简单拉伸试验时，材料的破坏分为两大类，简单拉伸试验时，材料的破坏分为两大类，脆性断裂破坏脆性断裂破坏塑性流动破坏塑性流动破坏对于复杂应力状态，材料的破坏仍然分为两大类，对于复杂应力状态，材料的破坏仍然分为两大类，强度理论也分为两大类强度理论也分为两大类脆性破坏脆性破坏塑性破坏塑性破坏三、四种常用的强度理论三、四种常用的强度理论（1 1）、）、最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）第一强度理论）材料的破坏取决于最大拉应力，无论材料处于何种材料的破坏取决于最大拉应力，无论材料处于何种应力状态应力状态,只要最大拉应力只要最大拉应力 达到材料单向拉伸时达到材料单向拉伸时的的 ，就发生断裂破坏。，就发生断裂破坏。1b破坏条件破坏条件:b1强度条件强度条件:bn安全系数安全系数适用范围适用范围:脆性材料脆性材料,有较大拉应力的情况。有较大拉应力的情况。三向拉伸应力状态三向拉伸应力状态,所有的材料。所有的材料。bbn1（2 2）、）、最大拉应变理论最大拉应变理论（第二强度理论）第二强度理论）材料的破坏取决于最大拉应变，无论材料处于何种材料的破坏取决于最大拉应变，无论材料处于何种应力状态应力状态,只要最大拉应力变只要最大拉应力变 达到材料单向拉伸达到材料单向拉伸时的时的 ，就发生断裂破坏。，就发生断裂破坏。1b破坏条件破坏条件:b1强度条件强度条件:适用范围适用范围:可以定性解释脆性材料（混凝土，石可以定性解释脆性材料（混凝土，石料）受压时产生纵向裂纹的现象。料）受压时产生纵向裂纹的现象。EEb3211b321 bbn321（3 3）、）、最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）第三强度理论）材料的破坏取决于最大切应力，无论材料处于何种材料的破坏取决于最大切应力，无论材料处于何种应力状态应力状态,只要最大切应力只要最大切应力 达到材料单向拉伸达到材料单向拉伸屈服时的屈服时的 时，就发生屈服破坏。时，就发生屈服破坏。maxs破坏条件破坏条件:smax强度条件强度条件:适用范围适用范围:脆性材料，三向压缩。脆性材料，三向压缩。0212131ss31 ssn31sn安全系数安全系数塑性材料塑性材料,除三向拉伸以外。除三向拉伸以外。（4 4）、）、形状改变能密度形状改变能密度理论理论（第四强度理论）第四强度理论）材料的破坏取决于畸变能密度，无论材料处于何种应材料的破坏取决于畸变能密度，无论材料处于何种应力状态力状态,只要畸变能密度只要畸变能密度 达到材料单向拉伸屈服时达到材料单向拉伸屈服时的的 时，就发生屈服破坏。时，就发生屈服破坏。dv0dv破坏条件破坏条件:0ddvv强度条件强度条件:适用范围适用范围:2221323222106161ssEE22132322212s ssn21323222121与第三强度理论相同。与第三强度理论相同。破坏破坏形式形式强度条件强度条件适用范围适用范围第一强度理论第一强度理论（最大拉应力最大拉应力理论）理论）断裂断裂第二强度理论第二强度理论（最大拉应变最大拉应变理论）理论）断裂断裂第三强度理论第三强度理论（最大切应力最大切应力理论）理论）屈服屈服第四强度理论第四强度理论（畸变能密度畸变能密度理论）理论）屈服屈服强度理论总结：强度理论总结：理论理论 bbrn11 bbrn3212 ssrn313 ssrn2132322214211 1、脆性材料、脆性材料,有较大有较大拉应力的情况。拉应力的情况。2 2、三向拉伸应力状态、三向拉伸应力状态,所有的材料。所有的材料。定性解释脆性材料定性解释脆性材料受压的情况。受压的情况。1 1、塑性材料、塑性材料,除三向除三向拉伸以外。拉伸以外。2 2、脆性材料，、脆性材料，三向压缩。三向压缩。同同第三强度理论第三强度理论 1 1、相当应力：、相当应力：r强度理论不等式的左边的应力。强度理论不等式的左边的应力。物理意义为：物理意义为：单向拉伸的强度条件为：单向拉伸的强度条件为：max复杂应力状态复杂应力状态的强度条件为：的强度条件为：r说明：说明：利用相当应力利用相当应力 的概念的概念,各种强度理论的公式可写为各种强度理论的公式可写为:r第一强度理论第一强度理论:第二强度理论第二强度理论:第三强度理论第三强度理论:第四强度理论第四强度理论:11r 3212r 313r 213232221421r2 2、如何选用强度理论、如何选用强度理论（1 1）材料：）材料：（2 2）应力状态：）应力状态：从材料和应力状态两个方面考虑从材料和应力状态两个方面考虑:塑性材料一般采用第三或第四强度理论。塑性材料一般采用第三或第四强度理论。三向压缩采用第三或者第四强度理论。三向压缩采用第三或者第四强度理论。三向拉伸采用第一强度理论，三向拉伸采用第一强度理论，脆性材料一般采用第一和第二强度理论脆性材料一般采用第一和第二强度理论