概率论总结chap567.ppt
知 识 梳 理 （5、6、7章）,概率分布的分位数(分位点),如图.,PXx =,双侧 分位数或双侧临界值的特例,当X的分布关于y轴对称时，,则称 为X分布的双侧分位数或双侧临界值.,如图.,若存在 使,小 结 几种常用分布的定义,正态总体样本均值的分布,设总体 ， 是 的一个样本, 则样本均值服从正态分布,U分布,分布,定义 设总体 ， 是 的一个样本, 则称统计量 服从自由度为n的 分布，记作,自由度是指独立随机变量的个数，,n个相互独立的标准正态分布之平方和 服从自由度为n的 分布,t分布,定义5.4,设随机变量XN(0，1)，Y 2(n) ，且X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n的t分布或学生氏分布，,记作,T t(n).,t-分布的密度函数的图形相似于标准正态分布的密度函数.当n较大时， t分布近似于标准正态分布.,F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，,几个常用结论和定理,正态总体样本均值的分布,设总体 ， 是 的一个样本, 则样本均值服从正态分布,U分布,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN( ， 2) 的样本，则,证明,由已知，有,XiN( ， 2)且X1，X2，Xn相互独立，,则,由定义5.3得,(P111第五题要用到此结论. ),定理5.1 设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则,(1) 样本均值 与样本方差S 2相互独立；,与以下补充性质的结论比较：,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体 XN( ， 2)的样本，则,定理5.2,设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN( ， 2)的样本，则统计量,证,由定义5.4得,定理5.3,设(X1，X2，Xn1)和(Y1，Y2，Yn2) 分别是来自正态总体N(1 ，2)和N(2 ，2)的样本，且它们相互独立，则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差.,(证略).,定理5.4,为正态总体 的样本容量和样本方差；,设 为正态总体 的样本容量和样本方差；,且两个样本相互独立，则统计量,证明,由已知条件知,且相互独立，,由F分布的定义有,参数估计,参数的点估计,点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。,样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体 数字特征的估计量。,以样本均值 作为总体均值 的点估计量，即,点估计值,点估计值,以样本方差 作为总体方差 的点估计量，即,定义 设 为随机变量，若 存在，则称 为 的 阶原点矩，记作 ；若 存在，则称 为 的 阶 中心矩，记作,样本的 阶原点矩，记作,样本的 阶中心矩，记作,阶矩的概念,结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即,估计值为,参数的极大似然估计法,求解方法：,（2）取自然对数,其解 即为参数的极大似然估计值。,（3）令,（1）构造似然函数,若总体的密度函数中有多个参数1，2，n，则将 第（3）步改为,解方程组即可。,区间估计,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（1）方差已知，对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造U-统计量，反查标准正态分布表， 确定U的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（2）方差未知，对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造T-统计量，查t-分布临界值表， 确定T的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（3）均值已知，对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量，查2-分布临界值表， 确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（4）均值未知，对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量，查2-分布临界值表， 确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量,（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,区间估计,（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量,（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,区间估计,假设检验,单个正态总体方差已知的均值检验,问题：总体 XN（，2），2已知,假设 H0：=0；H1：0,构造U统计量,由,U检验,双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定拒绝域,H0为真的前提下,H0：=0；H1：0,H0：=0；H1：0,或,单 边 检 验,拒绝域为,拒绝域为,单个正态总体方差未知的均值检验,问题：总体 XN（，2），2未知,假设 H0：=0；H1：0,构造T统计量,由,T检验,双边检验,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定拒绝域,H0：=0；H1：0,H0：=0；H1：0,或,单边检验,拒绝域为,拒绝域为,单个正态总体均值已知的方差检验,问题：总体 XN（，2），已知,构造2统计量,由,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定临界值,或,2检验,假设,拒绝域,一个正态总体均值未知的方差检验,问题：设总体 XN（，2），未知,构造2统计量,由,如果统计量的观测值,则拒绝原假设；否则接受原假设,确定临界值,或,2检验,假设,双边检验,例1 由经验知某零件的重量XN（，2），=15， =0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 （单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已 知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？ （=0.05）,解 由题意可知：零件重量XN（，2），且技术 革新前后的方差不变2=0.052，要求对均值进行 检验，采用U检验法。,假设 H0：=15； H1： 15,构造U统计量，得U的0.05双侧分位数为,例1 由经验知某零件的重量XN（，2），=15， =0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 （单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已 知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？ （=0.05）,解,因为4.91.96 ，即观测值落在拒绝域内,所以拒绝原假设。,而样本均值为,故U统计量的观测值为,
