湖北高考数学（理）一轮复习同步教材提能课件：2.12《导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》（新人教a版）.ppt

第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,三年31考 高考指数:,1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值(最值)是考查重点； 2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点； 3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主，难度较大.,1.导数与函数单调性的关系 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_. 如果在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)为_.,单调递增,单调递减,常数函数,(2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调，则y=f(x)在该区间上不变号.,【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_. (2)设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是_.,(3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_.,【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上单调递增. (2)由导函数图象知，f(x)在(-,0)上为正，在(0,2)上为负，在(2,+)上为正，所以f(x)在(-,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2,+)上是增函数，比较，只有符合.,(3)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立， 即=4-12m0， 答案：(1)单调递增 (2) (3),2.函数极值的概念 (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性 _(或导数值异号)，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函 数的极值. (2)极大值点与极小值点 若先增后减(导数值先正后负)，则x0为_点. 若先减后增(导数值先负后正)，则x0为_点.,相反,极大值,极小值,【即时应用】 (1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“×”) 导数为零的点一定是极值点( ) 函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值( ) 函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值( ),(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_. (3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_.,【解析】(1)导数为零只是函数在该点取极值的必要条件， 正确，f(x0)为极小值，故错误. (2)从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；,(3)由f(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3, 当x-3时，f(x)0, 当-3x1时，f(x)0, 当x1时，f(x)0, x=1和x=-3都是f(x)的极值点. 答案：(1)× × (2)1 (3)x=1,x=-3,3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数极值的步骤 求导数f(x)； 求方程f(x)=0的根； 列表，检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，确定是否为极值，是极大值还是极小值. (2)求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值可分两步进行,求y=f(x)在(a,b)内的_； 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个为_，最小的一个为_.,极值,最大值,最小值,【即时应用】 (1)思考：最值是否一定是极值？ 提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值. (2)函数f(x)=3x-4x3，x0,1的最大值是_. 【解析】由f(x)=3-12x2=0得 答案：1,(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=_. 【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由题意 即 得a=4或a=-3. 但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在极值， a=4，b=-11，f(2)=18. 答案：18,4.导数的实际应用 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.,【即时应用】 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位： 万件)的函数关系式为 则使该生产厂家获得 最大年利润的年产量为_. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成 两块，其中一块是梯形，记 则S的最小值是_.,【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得 x=9或x=-9(舍去)， 当x9时y0；当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值； 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.,(2)设剪成的小正三角形的边长为x， 则：,令S(x)=0(0x1),得 当x(0, )时，S(x)0,S(x)递减； 当x( ,1)时， S(x)0,S(x)递增； 故当 时，S取得最小值 答案：(1)9万件 (2),利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】 1.导数在函数单调性方面的应用 (1)利用导数判断函数的单调性； (2)利用导数求函数的单调区间； (3)已知函数单调性，求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般步骤 第一步：求定义域：求函数y=f(x)的定义域 第二步：求根：求方程f(x)=0在定义域内的根 第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间 第四步：定号：确定f(x)在各个区间内的符号 第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间.,【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.,【例1】(1)(2011·山东高考)函数 的图象大致是 ( ),(2)(2012·武汉模拟)已知f(x)=lnx: 设 求F(x)的单调区间； 若不等式f(x+1)f(2x+1)-m2+3am+4对任意a-1,1，x0,1恒成立，求m的取值范围.,【解题指南】(1)排除法与求导相结合，根据导数与函数单调性 的关系判断. (2)由题意只需解不等式F(x)0和F(x)0即可得到单调 区间；原不等式恒成立可转化为 恒成立， 进一步转化为 成立.,【规范解答】(1)选C.当x=0时，y=0，排除A. 当x2时， 排除D. 由 得 在满足上式的x的区间内，y是 增函数. 由 得 在满足上式的x的区间内，y是减 函数, 由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个, B不正确，C正确.,(2) 定义域为：(-2,-1)(-1,+). 令F(x)0，得单调增区间为(-2,- )和( ,+) 令F(x)0，得单调减区间为(- ,-1)和(-1, ),不等式f(x+1)f(2x+1)-m2+3am+4化为： ln(x+1)ln(2x+1)-m2+3am+4即 现在只需求 的最大值和y=3ma+4-m2 (a-1,1)的最小值. 因为 在0，1上单调递减, 所以 的最大值为0,而y=3ma+4-m2(a-1,1)是关于a的一次函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到： 解得0m1或-1m0， 所以m的取值范围是-1，1.,【互动探究】若本例(2)第问中条件改为“F(x)=f(x+2)-kx在定义域内是单调递增函数”，则k的取值范围是_. 【解析】由题意 在(-2,+)上恒成立， 恒成立，k0. 答案：k0,【反思·感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域. 2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法.,【变式备选】已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a,使f(x)在(-，0上单调递减，在0，+)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 【解析】f(x)=ex-a. (1)若a0，f(x)=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a0,令ex-a0,得exa,xlna. f(x)的单调递增区间为(lna,+).,(2)方法一：由题意知ex-a0在(-，0上恒成立. aex在(-，0上恒成立. ex在(-，0上为增函数. 当x=0时，ex最大为1. a1.同理可知ex-a0在0，+)上恒成立. aex在0，+)上恒成立.a1，a=1. 方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点. f(0)=0,即e0-a=0,a=1，验证a=1符合题意.,利用导数研究函数的极值(最值) 【方法点睛】 1.应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是可导函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. 2.数形结合求参数的范围 利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围.,【例2】已知函数f(x)=xe-x(xR). (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.证明当x1时，f(x)g(x). (3)如果x1x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x22.,【解题指南】由f(x)=0得出可能的极值点，再列表判断；利用已知条件求出y=g(x)的解析式，构造新函数进行证明；讨论x1,x2的可能取值，判断其范围，再利用f(x)的单调性证明.,【规范解答】(1)f(x)=(1-x)e-x. 令f(x)=(1-x)e-x=0，得x=1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在区间(-,1)内是增函数，在区间(1,+)内是减函数. 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且,(2)因为函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称， 所以g(x)=f(2-x)，于是g(x)=(2-x)ex-2. 记F(x)=f(x)-g(x)，则F(x)=xe-x+(x-2)ex-2， F(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x, 当x1时，2x-20，从而e2x-2-10， 又e-x0，所以F(x)0，于是函数F(x)在区间1,+)上是增函数.因为F(1)=e-1-e-1=0，所以， 当x1时，F(x)F(1)=0.因此f(x)g(x).,(3)若(x1-1)(x2-1)=0，由(1)及f(x1)=f(x2), 得x1=x2,与x1x2矛盾； 若(x1-1)(x2-1)0，由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与x1x2矛盾； 根据，可得(x1-1)(x2-1)0. 不妨设x11,x21. 由(2)可知f(x2)g(x2)=f(2-x2)，所以 f(x1)=f(x2)g(x2)=f(2-x2).,因为x21，所以2-x21，又x11，由(1)知f(x)在区间 (-,1)内是增函数， 所以x12-x2，即x1+x22.,【反思·感悟】1.求函数的极值时，极易弄混极大值、极小值. 2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便.,【变式训练】(2011·北京高考)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值. 【解析】(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1,f(x)与f(x)的变化情况如下：,所以f(x)的单调递减区间是(-,k-1)； 单调递增区间是(k-1,+).,(2)当k-10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k；当0k-11，即1k2时，由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减，在(k-1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1.当k-11,即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上，当k1时，f(x)在区间0,1上的最小值为-k； 当1k2时，f(x)在区间0,1上的最小值为-ek-1； 当k2时，f(x)在区间0,1上的最小值为(1-k)e.,【变式备选】设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR)，已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数. (1)求b、c的值. (2)求g(x)的单调区间与极值.,【解析】(1)f(x)=x3+bx2+cx， f(x)=3x2+2bx+c. 从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)= x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0，得c=0，由奇函数的定义得b=3；,(2)由(1)知g(x)=x3-6x，从而g(x)=3x2-6，由此可知， (-,- )和( ,+)是函数g(x)的单调递增区间； 是函数g(x)的单调递减区间； g(x)在x=- 时，取得极大值，极大值为4 ，g(x)在x= 时，取得极小值，极小值为-4 .,导数在实际问题中的应用 【方法点睛】 1.导数在实际问题中的应用 在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决.注意检验结果与实际是否相符. 2.实际问题中的最值 根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数的极值就是最值.,【例3】(2011·山东高考)某企业拟 建造如图所示的容器(不计厚度，长 度单位：米)，其中容器的中间为圆 柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部 分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为 y千元.,(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. 【解题指南】本题为应用题，(1)先求出l和r的关系，再根据问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.(2)利用导数求函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性求出极值，再由函数的定义域求出最值.,【规范解答】(1)因为容器的容积为 立方米， 所以 解得 由于l2r, 因此0r2. 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4r2, 所以建造费用 定义域为(0,2.,(2)因为 由于c3,所以c-20, 所以令y0得: 令y0得:,当 即 时，函数y在(0，2上是单调递减的，故建造费用最小时r=2. 当 即 时，函数y在(0，2上是先减后增 的，故建造费用最小时,【反思·感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题. 2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失分的主要原因.,【变式训练】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时 的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以 表示为： 已知甲、乙两地相距 100千米. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要 耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？,【解析】(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 小 时，要耗油 =17.5(升). 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 耗油17.5升.,(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得,令h(x)=0,得x=80. 当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数； 当x(80,120时，h(x)0,h(x)是增函数. 当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.,【变式备选】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).,【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为： L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11. (2)L=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x). 令L=0得 或x=12(不合题意，舍去). 在 两侧，由左向右L的值由正变负.,所以当86+ a9即3a 时， Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 当 即 a5时，,即：若 则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最 大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元)；若 则当每件售价为 元时，分公司一年的利润L最大，最大值 (万元).,【满分指导】函数综合题的规范解答 【典例】(12分)(2011·湖南高考)设函数 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.,【解题指南】(1)对f(x)求导，就a的取值分类讨论； (2)假设存在a满足条件，判断条件是否满足. 【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+). 2分 令g(x)=x2-ax+1,其判别式=a2-4.,当|a|2时，0，f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增.3分 当a-2时，0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+)上，f(x)0，故f(x)在(0,+)上单调递增.4分 当a2时，0,g(x)=0的两根为 当0xx1时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0；当xx2时，f(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减. 6分,(2)由(1)知，a2. 因为 所以 8分 又由(1)知，x1x2=1.于是 若存在a，使得k=2-a,则 即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即 () 10分,再由(1)知，函数 在(0,+)上单调递增，而 x21，所以 这与(*)式矛盾.11分 故不存在a，使得k=2-a. 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011·湖南高考)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( ),【解析】选D.由题意|MN|=t2-lnt(t0)，不妨令 h(t)=t2-lnt，则 令h(t)=0解得 因为 时，h(t)0，当 时，h(t)0， 所以当 时，|MN|达到最小.,2.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=ex(x0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_.,【解析】设P(x0, ),则 过点P作l的垂线, 垂线方程为 所以，t在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减， x0=1时, 答案：,3.(2011·广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1在x=_处取得极小值. 【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2), f(x)的单调递增区间为：(-,0)和(2,+),递减区间为(0,2),f(x)在x=2处取得极小值. 答案：2,