单边拉氏变换与傅里叶变换的关系.ppt

五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res0,要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2； 则 F(j)=1/( j+2),复习,（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，,如f(t)= (t)F(s)=1/s,= () + 1/j,（3）0 0，F(j)不存在。 例 f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变换不存在。,复习,§5.2 拉普拉斯变换性质,线性性质 尺度变换 时移特性 复频移特性 时域微分 时域积分,卷积定理 s域微分 s域积分 初值定理 终值定理,复习,f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0,f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,f(t) sF(s) f(0-),f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),复习,§5.3 拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。 通常的方法 : （1）查表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -结合,若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,复习,由于L- 11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。,下面主要讨论有理真分式的情形。,一、零、极点的概念,若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为,分解,零点,极点,二、拉氏逆变换的过程,求F(s)的极点,将F(s)展开为部分分式,查变换表求出原函数f(t),部分分式展开,1.第一种情况：单阶实数极点,单阶实极点举例,(1)求极点,(2)展为部分分式,(3)逆变换,求系数,假分式情况：,作长除法,第二种情况：极点为共轭复数,共轭极点出现在,求f(t),=2|K1|e-tcos(t+)(t),共轭极点举例,另一种方法,F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法,求得,第三种情况：有重根存在,如何求K2 ?,K2的求法,逆变换,一般情况,求K11，方法同第一种情况：,求其他系数，要用下式,举例,§5.4 复频域分析,一、微分方程的变换解,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。,思路：用拉普拉斯变换微分特性,若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j)(t) s j F(s),y(t)， yzi(t)， yzs(t),s域的代数方程,举例,例1 描述某LTI系统的微分方程为 y“(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t)， 求系统的全响应y(t),解： 方程取拉氏变换，并整理得,Yzi(s),Yzs(s),y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) +,yzi(t),yzs (t),暂态分量yt (t),稳态分量ys (t),若已知y(0+)=1，y'(0+)= 9,二、系统函数,系统函数H(s)定义为,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,yzs(t)= h(t)*f (t),H(s)= L h(t),Yzs(s)= L h(t)F(s),例2 已知当输入f (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应,yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。,解,h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t),微分方程为 y“(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t),s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s),取逆变换 yzs“(t)+5yzs'(t)+6yzs(t) = 2f '(t)+ 8f (t),三、系统的s域框图,时域框图基本单元,s域框图基本单元(零状态),例3 如图框图，列出其微分方程,X(s),s-1X(s),s-2X(s),解 画出s域框图,s-1,s-1,F(s),Y(s),设左边加法器输出为X(s)，如图,X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s),s域的代数方程,Y(s) = X(s) + 4s-2X(s),微分方程为 y“(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f “(t)+ 4f (t),再求h(t)?,四、用拉氏变换法分析电路的步骤:,列s域方程（可从两方面入手）,求解s域方程。,，得到时域解答。,列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的s域模型建立代数方程。,什么是电路的s域模型？,五、电路的s域模型,对时域电路取拉氏变换,1、电阻元件的s域模型,U(s)= R I(s),u(t)= R i(t),电阻元件的s域模型,2、电感元件的s域模型,U(s)= sLIL(s) LiL(0-),电感元件的s域模型,3、电容元件的s域模型,I(s)=sCUC(s) CuC(0-),电容元件的s域模型,4、KCL、KVL方程,求响应的步骤,画0-等效电路，求初始状态； 画s域等效模型； 列s域方程（代数方程）； 解s域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)； 拉氏反变换求u(t)或i(t)。,例1,(1),(2),(3) 列方程,解：,如图电路，初始状态为0，t=0时开关S闭合，求电流i(t)。,故,例2,如图所示电路，已知uS(t) = (t) V，iS(t) =(t)，起始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。,解 画出电路的s域模型,Us(s)=1/s， Is(s)=1,u(t) = et(t) 3tet(t) V,若求uzi(t)和uzs(t),第六章 离散系统的z域分析,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。,§6.1 z 变换,从拉普拉斯变换到z变换 z变换定义 收敛域,一、从拉普拉斯变换到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换，得,令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT) f(k) ，得,二、z变换定义,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z) = Zf(k) , f(k)= Z-1F(z) ； f(k)F(z),三、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1,解（1）,可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f2(k)的双边z 变换为,F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收敛域为0z ,f2 (k)的单边z 变换为,收敛域为z 0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z，有时它在0或/和也收敛。,例2 求因果序列,解：根据定义,的z变换,可见，仅当az-1a 时，其z变换存在。,收敛域为|z|a|,例3 求反因果序列,解,的z变换,可见，b-1z1,即zb时，其z变换存在，,收敛域为|z| |b|,例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解,的z变换,可见，其收敛域为azb （显然要求ab，否则无共同收敛域),序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；,注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。,例,f1(k)=2k(k)F1(z)=, z2,f2(k)= 2k( k 1)F2(z)=, z2,对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。,常用序列的z变换：,(k) 1 ，z0,(k),，z1,，z1,( k 1),§6.2 z变换的性质,线性性质 移位特性 z域尺度变换 卷积定理 z域微分,z域积分 k域反转 部分和 初值定理 终值定理,本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。,一、线性性质,若 f1(k)F1(z) 1z1, f2(k) F2(z) 2z2 对任意常数a1、a2，则 a1f1(k)+a2f2(k) a1F1(z)+a2F2(z) 其收敛域至少是F1(z) 与F2(z)收敛域的相交部分。,例： 2(k)+ 3(k) ,，z1,2 +,二、移位特性,单边、双边差别大！,双边z变换的移位：,若 f(k) F(z) , 0，则,f(km) zmF(z), z,证明：Zf(k+m)=,单边z变换的移位：后向移位,若 f(k) F(z), |z| ，且有整数m0, 则,f(k-1) z-1F(z) + f(-1) f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1,前向移位,f(k+1) zF(z) f(0)z f(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z,证明： Zf(k m)=,上式第二项令k m=n,特例：若f(k)为因果序列，则f(k m) z-mF(z),例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解,z1,例2：求f(k)= k(k)的单边z变换F(z).,解,f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k),zF(z) zf(0) = F(z) +,F(z)=,三、序列乘ak(z域尺度变换),若 f(k) F(z) , z ， 且有常数a0,则 akf(k) F(z/a) , aza,证明： Zakf(k)=,例1：ak(k) ,例2：cos(k)(k) ?,cos(k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) ,四、卷积定理,若 f1(k) F1(z) 1z1, f2(k) F2(z) 2z2 则 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z),对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列,其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：求f(k)= k(k)的z变换F(z).,解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1),五、序列乘k（z域微分）,若 f(k) F(z) , z 则, z,例：求f(k)= k(k)的z变换F(z).,解：,六、序列除(k+m)(z域积分）,若 f(k) F(z) , 0，,则, z,若m=0 ,且k0，则,例：求序列 的z变换。,解,七、 k域反转 (仅适用双边z变换）,若 f(k) F(z) , z 则 f( k) F(z-1) , 1/z1/,例：已知,，|z| a,求a k( k 1)的z变换。,解,，|z| a,，|z| 1/a,乘a得,，|z| 1/a,八、部分和,若 f(k) F(z) , z，则, max(,1)z,证明,例：求序列(a为实数) (k0)的z变换。,解,，|z|max(|a|,1),九、初值定理和终值定理,初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)F(z) ，z 则序列的初值,对因果序列f(k)，,证明,两边乘zM得,zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+,终值定理：,终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ，z 且01 则序列的终值,含单位圆,