13教在何处：小学数学教学中的几个“着力点”(帅 莉：教育研究与评论,201206).doc

教在何处：小学数学教学中的几个“着力点”帅 莉（南京市力学小学，210024）摘 要：40分钟的数学课堂由若干个教学点串联而成，把教学落在实处，关键是要抓住教学细节，要找准教学着力点。阿基米德说过：“给我一个支点，我将撑起整个地球。”同样在教学中“着力点”的有效挖掘和落实，常常可以让我们的教学事半功倍。结合“新授重难点”、“练习思考点”与“复习整合点”，本文着重探讨了数学教学应“教在何处”。关键词：着力点；新授重难点；练习思考点；复习整合点7“新课程”实施以来，学生学习方式的转变一直都是我们教育教学研究的重点。无论面对学科还是生活，学习的本质都是探究与创造，而在课堂上让学生在探究学科和生活的过程中不断生成精彩观念和美好体验，最终指向创造个性的发展，应是教学的根本。1以学定教，运用数学为学生提供的广阔探索空间，把“探究”作为数学课堂的主要学习方式，通过猜想、操作、实验、交流、讨论、推理和类比等多种形式，使学生依据自己原有的知识和经验，努力尝试数学的“再创造”，一直都是我们小学数学课堂教学的追求。在发挥学生学习的主体地位的同时，我们的教也应为学生的有效学习服务，发挥教师组织者、引导者和合作者的作用，教，着力于学生学习的盲区上，协助和促进学生合理建构知识结构，发展他们数学能力。一、着力点之一：新授重难点毋庸置疑，教学重难点一直都是我们备课、教学中的重中之重。为避免以往教学中学生容易出现的问题、偏差、错误，我们常常把教学重难点的突破，视为“搀着学生，趟过小河，绕过小沟，勿走弯路”，因而课堂也就变成了把一堆外部知识忠实地传递给学生，然后“以奖励作诱因，以惩罚作威胁”，对学生进行一丝不苟的训练2。看似效果显著，其实质却是缺乏对学生学习力培养的长远考虑。美国学者莱斯尼克曾指出：“学习者总是试图将新信息与其已知的事件联系起来，以根据已经建立的结构解释新事物。”把教学重难点作为着力点，应关注特定的学习者，也就是儿童，顺应他们已有的知识储备，年龄特点和学习需要，激发他们自主探索、自我建构，掌握新知，发展能力。（一）从学情出发，着力于聚焦学习起点在教授四年级上册“角的度量”时，如何准确地度量角就一直是一个教学重难点，一般“有经验”的老师都会简洁、准确地教授量角的方法，一对（对中心点），二重（一边重0刻度线），三看（看另一边指着刻度几），学生按着口诀，一回生二回熟，多量量就会了。反思这样“成熟”的突破重难点方法，似乎缺少了点什么？是数学味和研究性。学生机械地掌握技能，这不是数学教学之本。从二年级线段长度的度量到四年级角的度量，对于学生来说是一次认识上的跨越，我们常常感叹，“一对二重三看”都讲得那么清楚了，为什么刚开始练习实际测量时依然会有一部分学生不会量，特别是一遇到“角”“斜放”时，量角器就“乱摆”、无从下手。课后访谈调查时我们发现，当问及为什么量角时要“一对、二重、三看”时，学生多半茫然。原来连测量原理都没有弄明白，学生怎么能够有效地建构知识呢？所以只能机械运用。那么，学生能够自己探索出量角的方法吗？知识的生长点在哪儿？联系以往学习过的知识，“有关角的初步认识”在二年级，当时学生就比较过两个角的大小。用量角器量角反映出一种朴素的度量经验，即通过相同属性的物体进行比较，也就是用量角器量角从本质上来说是用“角”量角。因而量角的方法无需告诉学生，只要在认识量角器时，先充分认识量角器上的各种度数的角（分清内外圈的度数），然后联想二年级已有的学习经验，自己想办法用量角器量角，学生多种测量方法的呈现，不仅让学生明白了量角的原理，经历了量角探究的过程，同时也可以在交流、讨论量角心得时优化量角方法，最后提炼出量角的三个步骤，水到渠成。（二）从问题出发，着力于经历学习过程在教授二年级下册“统计”时，其主题图是一个比赛场景，茄子老师的一句话“看了这幅图，你想知道什么？”是激发学生统计需要的关键性问题，它为统计教学有效展开拉开了序幕。但大多数老师在上课时，把教学的落脚点放在如何填表上（因为考试会考），提问只是当作走过场，问完小动物在干什么，想知道什么之后，就忙着指导学生如何填表了。其实本节课和一年级的统计表的教学，从形式上看就是由一张统计表变成两张统计表，学生填对这两张表已不是难事。那么，这节课的重难点是什么呢？统计是与生活紧密相连的数学知识，统计教学绝不仅仅只是填统计表，更重要的是要培养学生的统计意识，在生活中自觉地应用统计解决问题。这节课新就新在“分类”上，教学的重难点自然就应落在分类统计的需求和作用上，而学生经历、体验和探究问题才是学习之本。抓住茄子老师的问题，以问导学，寻疑而研，把学生想知道的一一列在黑板上，面对学生真实的提问，质疑“如何又快又准地解决这些问题”以激发学生列统计表的需求，随后再次设问“只有一张统计表，能解决这里的所有问题吗？”进一步引出本节课的研究核心分类统计，根据学生先前的提问，按需形成按比赛项目和动物种类两张统计表学生根据填好的分类统计表，不仅可以解决先前提出的各种问题，还可以解决生活中的类似问题：“根据每种小动物的口味准备午餐，各准备几份，应看哪张统计表？”“要给不同项目的运动员准备不同颜色的T恤，红色有10件，蓝色有7件，该怎样发，为什么？”等。这样，既首尾呼应、一气呵成，又抓住了研究点、让学生经历了统计的全过程、体会到分类统计的价值、增强了统计实际运用的能力、也有效实现了知识的合理建构。（三）从操作出发，着力于挖掘知识内涵三年级的综合实践课“周长是多少”，其中有一个环节是“摆一摆”。仔细研读教材，我们不难理解这个环节的教学核心是，让学生通过操作明确围成图形的周长就是所用小棒的总长度。那么，怎样挖掘这个研究点，以便让学生在操作中，除了感性的认识，更能通过有效思维，把周长和小棒总长度之间的关系认识得更透彻、更有深度呢？教学围成的长方形时，首先按要求学生让操作，然后填表，记录长、宽和周长，然后组织全班交流、讨论，学生们会根据按周长的长短对所围成的长方形及进行分类。出示学生所围成的长方形：结合图示，我们可提出以下问题让学生交流、讨论：（1）第三组的两个长方形，长和宽不相等，为什么周长却相同？这个问题旨在突出虽然长和宽不相等，但是所用的小棒相同，所以周长相同，因为所摆小棒的总长度就是长方形的周长。小棒的总长度取决于两个因素：一个是根数，另一个是小棒的长短。下面的两个问题就是围绕着两个因素来展开的。（2）第二组长方形的周长比第一组长多少厘米？为什么？通过观察，让学生聚焦图形的变化，发现是由于“多了两根3厘米小棒”，体会根数的变化影响着长方形的周长。（3）一共用6根小棒摆成的长方形，周长可能是多少？为什么周长会不相等？虽然都是6根，但是长度不一样，周长也就不同。着力点围绕操作展开，思维不断递进，不仅加深了学生的理性认识，有效地训练他们的思维，而且同时还提高了学生的研究能力。二、着力点之二：练习思考点练习是数学学习的重要组成部分，它是获取与巩固知识的有效手段。以往我们提倡“做数学”，其实质就是“做”题目，反复训练，直至形成技能。现在趋向回归“做”的本意，即让学生亲自动手去解决呈现在他们面前的问题，在这个过程中获取数学知识，发展数学能力。3找准练习的思考点，有效展开，让学生“做”有挑战性和探究性的练习，是数学课堂的另一个重要着力点。（一）集思广益，着力于多元思考在教授六年级下册“圆柱和圆锥”这个单元时有这样一道练习：学生在做这个练习时已经熟练地掌握了圆锥和圆柱体积的计算方法。那么，看似平常的练习其研究点在哪儿呢？“探索判断方法，自主优化是学生数学思考的重点”。教学中我们可以放手让学生去用自己的方法寻找答案。有一些学生亦步亦趋地利用数据计算，有一些学生只是看着图思考一会儿，就迅速举手回答。交流、讨论时，大家各抒己见，有的用计算结果说明圆锥与哪个圆柱体积相等，有的就直接指出要想圆锥和圆柱体积相等，可以有两种情况：高相同，圆锥的底是圆柱的3倍；或者底相等，圆锥的高是圆柱的3倍。对于后者的回答我并没有给出判断，问题依然抛给学生，质疑这种判断对吗？在一番交流之后，有的同学把这种推断与之前的计算结果对照，用数据证明它的合理性，有的同学则结合圆锥和圆柱的体积计算公式之间的联系来解释其合理性。最后，还有的同学有趣形象地说：“体积相等，底相同时，圆锥是个高个子；体积相同，高相同时，圆锥是个大胖子”。把学习空间还给学生，他们就会思考、碰撞、沟通，不断地碰擦出研究的火花，这必然也会提升学生探究的品质。（二）以退为进，着力于探究方法在教授四年级上册“用计算器计算”单元时有这样一道题：如果按照题意，学生不难找出规律填写，这样练习平铺直叙，缺乏思维的挑战性。换一个角度设计练习，研究点可以落在把题目倒过来呈现，让学生自己寻找解决问题的方法。我们可以先呈现 111111×111111=？，对于大数目的计算，学生多半会想到用计算器，可是很快就会发现，计算器屏幕大小有限，结果显示不全。怎么办？大家一起想办法，有的同学说找一个屏幕大的计算器，有的同学说用竖式计算，还有同学说这个算式比较特殊，每个数位上都是1，因而可以先算1×1，11×11，111×111这些用计算器都能解决的，看看结果有没有规律。“踏雪寻梅”，以退为进，化繁为简，学生在解决这道题时收获的可能不只是答案，还有可能捕获探究方法。（三）对比辨析，着力于解决困惑练习中学生产生的困惑，我们常常无法预设。这些来自学生的疑问、错误既是我们教学的重点也是我们教学的亮点。儿童是“理论的创造者”：他们经常在生活和学习中提出自己“天真的理论”。这些理论是其日后发展成为成熟的探究者的基础和生长点。4抓住学生的困惑点，是课堂上不可多得的着力点。教授三年级下册“认识分数”时，其第一课时是认识一个整体的几分之一，老师们经常会遇到这样的问题，譬如： 每一份，学生用分数表示成。面对这样的问题，大多数老师在课堂十分避讳，总是想方设法不让这种错误出现。一旦出现，就立刻纠错。其实，三年级的学生在学习和生活中接触分数很少，身处“第一学段”的他们总是和整数打交道，这样，错误的出现说明他们的思维依然停留在整数范畴，他们容易把份数和个数混淆在一起，因而出现认知上的偏差是很正常的。抓住这个错例作为教学着力点，放手让学生每人想一种办法，可以画一画，也可以议一议，说明其错误。有的学生从概念入手，平均分成2份，取一份，是它的，有的同学画图，反过来证明是把这些桃平均分成4份，取2份，有的同学画出了8个桃子的，指出和桃子的个数无关，关键看平均分成几份同学们运用已有的知识寻求解决的办法，不但进一步明晰了一个整体的几分之一的，还增强了研究的能力。三、着力点之三：复习整合点现在的复习课，重“练”轻“理”。原因有二：（1）教材的复习课呈现的形式就是练习，老师们只关注教材编排的外在形式，不解读联系背后的复习要点。（2）考试就是考习题，因而必须做练习，讲练习，目的是熟悉各类题型，以达到“全面”复习。日常生活中当东西多的时候，我们常常整理好，捆一捆，这样便于携带。这个道理也适用于复习课，在课上帮助学生对相关知识进行合理有序的构建，打通它们之间的联接，学生只有融会贯通才能灵活运用。因而在复习课上，不搞题海战术，更不能盲人摸象，要想减轻学生的学习负担，就要把教学的着力点放在复习的整合点，把零散的知识有效整合，便于学生抓住本质，梳理知识，学以致用。（一）整合错例，着力于探究共性教授四年级上册“平行与垂直”单元时，做垂线一直都是难点，因而在不同的变式面前，学生们容易概念混淆。譬如：小船在A处，怎样划到对岸的距离最短？请作图。再譬如，分别量出点A到直线l1和直线l2的距离。这样的练习在平时教学中零散呈现，错例一般会就题讲评，知识点的掌握是孤立的。在复习课中我们可以把这些错例一并呈现进行归类，让学生运用学过的知识，结合错因来研究这一类作图题的共同之处，即排除外在干扰，都是做点到对应直线的垂直线段，只需要明确从哪个点向哪条直线做垂直线段即可。通过整合，把难点分化了，抓住了作图的要点。长期进行这样的复习指导，学生也会在学习过程中自觉或不自觉地运用这样的探究、归纳与梳理。（二）整合知识，着力于梳理联系四年级下册学习的“三角形”和“平行四边形和梯形”，虽然是两个单元，但是作为平面图形，很多知识点是相互关联的。在总复习时，可以把这两个单元进行整合，加强沟通。譬如，三角形、平行四边形和梯形都有“高”，在单元学习时学生都认识了“高”，并会做“高”。如何把这三“高”联系起来，作为一个整体纳入学生的认知结构？我们可以抓住“为什么三角形的高只有3条，而平行四边形和梯形的高有无数条？”作为着力点，让学生自主整合。结合学生的思考和交流，通过课件动态演示，三角形的一个顶点变成线段。引发学生思考，三角形的高是从它的一个顶点到对边的垂直线段，而平行四边形和梯形的高看起来虽是平行线段之间的垂直线段，但也是从一边上的“一点”作对边的垂直线段。由于三角形只有3个顶点，因而只能做三条高，但是梯形和平行四边形的一边可以看作是由无数个“顶点”所组成，因而对应的高也就有无数条。（三）整合练习，着力于思维提升三年级上册“长正方形的认识”复习课，我校的一位老师设计了这样一个练习：每个小动物后面都藏了一个图形，你知道是长方形还是正方形？学生已经掌握了长正方形的特征，运用这个知识能很快判断出前两题，但是到了第3题，学生的答案就不怎么统一了，有的说是长方形，有的说是正方形，还有的说两者都有可能。于是大家把研究的焦点都放在了为什么两者都有可能上，通过观察、想象、尝试、比较，思维不断深入，在探寻结果的过程中，学生们不仅进一步明晰了长正方形的特征，更通过比较沟通了长正方形与正方形的关系，体会到“正方形是特殊的长方形”，即“正方形必定是长方形、而长方形未必是正方形（有可能是）”，更在讨论、交流、碰撞中，思维碰撞，品味到思考的乐趣。着力点需要教师深入地挖掘，慧心的设计，精准地捕捉，有效地组织，悉心地呵护，睿智地甄别。教师们点燃了着力点，学生们就会在学习中有所收获，在收获中有所体会，在体会有所快乐，在快乐中健康成长！注 释：1 张华.研究性教学论M.上海：华东师范大学出版社，2010：35.2 张华.研究性教学论M.上海：华东师范大学出版社，2010：154.3 曹培英.提高小学数学练习设计有效性的研究J.小学数学教师，2011(04)：38.4 张华.研究性教学论M.上海：华东师范大学出版社，2010：35.指导教师：徐文彬（1966-），安徽宣城人，南京师范大学课程与教学研究所常务副所长，教授，博士生导师，主要研究领域为课程与教学论、数学教育和小学教育。基金项目：1 2009年度教育部重点课题“和谐学校文化建设与课程教学的关系研究”（DHA090189）2 2011年度江苏省教育科学规划重大招标课题“基础教育课程改革重大理论与实践问题的深入研究”（A/2011/08）