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教育部北师大基础教育研究中心 数学工作室初中数学教材编写组成员 九江市同文中学 高级教师 高 峻 电话：13607022230 邮箱：gsjl2002126.com 北师大九年级上册 平行四边形的判定 问题1 怎样的四边形是平行四边形呢? 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 问题2 平行四边形具有什么样的性质呢? 边 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 角 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补 对角线 平行四边形的对角线 互相平分 平行四边形 的性质 我们知道了平行四边形的性质，那么，有 哪些方法可以判断一个四边形是平行四边 形呢？ （1）根据定义：两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形 因为AB/CD,AD/BC;所以四边形ABCD 是平行四边形。 B D C A 问题3 根据平行四边形性质得到如下猜想: 猜想1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 猜想2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 猜想3:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 . 猜想4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 问题4 你能利用公理和已有的定理 证明这些猜想吗? 得到平行四边形的判定: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. w求证:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B D C A w已知:如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,BC=DA w求证:四边形ABCD是平行四边形. w分析:要证明四边形 ABCD是平行四边形.可 转化证明两组对边分 别平行,从而作辅助线 ,用全等三角形来证明 相应的角相等. 证明:连接AC. AB=CD,BC=DA,AC=CA, ABCCDA(SSS). 1=2, 3=4. ABCD,CBAD. 四边形ABCD是平行四边形. 1 2 3 4 得到平行四边形的判定: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. w求证:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中 ABCD,AB=CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. w分析:要证明四边形 ABCD是平行四边形.可 转化证明两组对边分 别相等,从而作辅助线 ,用全等三角形来证明 相应的边相等. 证明:连接AC. ABCD, 1=2. AB=CD,AC=CA, ABCCDA(SAS). 四边形ABCD是平行四边形. BC=DA. B D C A 1 2 你还 有不 同的 证法 吗? 得到平行四边形的判定: 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知:如图,在四边形ABCD中, 对角线 AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明: CO=AO,BO=DO,1=2, AODCOB(SAS). 3=4. ADCB. 同理,ABCD. 四边形ABCD是平行四边形. B D C A O w分析:要证明四边 形ABCD是平行四边 形.可转化证明两组 对边分别平行,从而 用全等三角形来证 明相应的角相等. 你还有几 种不同的 证法? 4 3 2 1 得到平行四边形的判定: 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. 已知:如图,在四边形ABCD中 ,A=C,B=D. 求证:四边形ABCD是平行四边形. w分析:要证明四边形 ABCD是平行四边形.可 转化证明两组对边分 别平行.从而转化为相 关的角关系来证明. 证明: A=C,B=D, A+C+B+D=3600. A+B=1800. ADBC. B D C A 2A+2B=3600. 同理,ABCD. 四边形ABCD是平行四边形. 通过以上的证明,我们得到的关于平行四边 形判定的猜想是正确的,于是有了如下判定定理: v判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平 行四边形. v判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平 行四边形. v判定定理3:两组对角线互相平分的四边形是 平行四边形. v判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形. 想一想 v小明有一个猜想: v有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是 平行四边形. v你能证明他的猜想是否成立? v小红也有一个猜想: v有一组对边相等,一组对角相等的四边形是平 行四边形. v你能证明她的猜想是否成立? 已知:如图. 求证:四边形MNOP是平行四边形. 分析:这是一道综合性题目,利 用勾股定理,方程和平行四边形 的判定进行计算性推理可获证. 证明: O M N P 4 5 x-3 11-x x-5 四边形MNPO是平行四边形. 例题选讲 MON=90° 已知:如图,在 ABCD中,BF=DE. 求证:四边形AFCE是平行四边形. 分析:由已知的平行 四边形和BF=DE可知 ,CE=AF,则转化为利 用一组对边平行且 相等来证明. 证明: DCAB,DC=AB DE=CF CE=AF 四边形AFCE是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形 A B C DE F 你还有几种不同的证法 随堂练习 w定理:两组对边分别相等的四边形是平行 四边形. w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形. 回顾 思考 wAB=CD,AD=BC, w四边形ABCD是平行四边形. B D C A wABCD,AB=CD, w四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定 平行四边形的判定 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 回顾 思考 B D C A O wAO=CO,BO=DO, w四边形ABCD是平行四边形. wA=C,B=D. w四边形ABCD是平行四边形. B D C A 知识的升华 独立 作业 P88习题3.2 1,2,3题. 祝你成功！ 驶向胜利 的彼岸
