高等数学计算.ppt

符号表达式及其应用 微积分基本运算 Taylor级数展开 常微分方程求解, ,第3章 高等数学计算,MATLAB的符号计算,在数学、物理及各类工程应用中, 除了数值计算外, 还常常需用符号计算. 一般的计算机语言平台只能 实现数值计算, 早期的MATLAB也不能实现符号计 算。1993年MathWorks公司购买了MAPLE的使用 权,并开发出实现符号计算的工具箱Symbolic Math Toolbox. 符号计算需要使用专门函数，功能包括有微积分、 线性代数、方程求解、积分变换等。在MATLAB数 值计算和字符串操作中,变量通过赋值语句创建.但 是符号计算中的变量在使用前，必须要用关键词 syms (或其它函数)创建。,2/16,例1. 用符号表达式定义 f = e 0.2x sin (0.5x)并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,2*pi),3/16,syms 符号变量1 符号变量2 ,f = exp(-1/5*x) * sin(1/2*x),ezplot( f ) 绘表达式f=f(x)的图 绘图区域 -2*pix2*pi ezplot(f, a,b) 绘图区域：axb,S1=subs(S, old, new)修改表达式 例2. 输入不同的参数a,b绘制函数的图形 f(x)=exp(a x)sin(b x) function mlab32(a1,b1) syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,a1); f2=subs(f1,b,b1); ezplot(f2,0,2*pi),符号表达式中变量替换,4/16,mlab32(-0.6,0.5),例3. 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕X轴旋转的旋转曲面体积,数据转化为数值数据: double(A) numeric(A),5/16,function V=mlab32(a1,b1) syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,a1); f2=subs(f1,b,b1); V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi);,V=mlab32(-.2,.5) double(V) ans = 3.1111,例4.将f(x)=1/x3与g(y)=tg(y)复合并化简,syms x y f=1/x3;g=tan(y); h1=compose(f,g); pretty(h1) h2=compose(g,f),pretty(h2),复合与化简命令: 1.复合:compose(f,g) 2.化为数学形式: pretty(P); 3.化简: simplify(P) ; 4. 因式分解: factor(P) 5. 分离有理函数的分子分母: f,g = numden(R),6/16,h1 = 1/tan(y)3,1 - 3 tan(y),h2 = tan(1/x3),1 tan(-) 3 x,例3.4 用符号计算验证三角恒等式,syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2),y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2),练习:分别用simple和simplify对符号表达式 cos(x)2-sin(x)2 进行化简，观察结果,化简符号表达式方法simplify,微积分基本运算,int(f,v) 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) 对v变量求区间a,b上的定积分 diff(f,v) 对指定变量v求微分, diff(f,v,n) 对指定变量v求n阶微分 X=solve(f, x) 求方程 f(x) = 0 的根 limit(f,x,a) 求f表达式在x-a时的极限 symsum(f,k,m,n) 求级数,7/16,求极限运算 求一个数学表达式的极限用命令limit ，使用格式如下 limit(F,x,a) 这一命令的功能是求出符号表达式F当x a.的极限。 （ 1） limit(F,a) 使用与x最接近的英文字母作为自变量； （ 2） limit(F) 使用 a = 0 作为自变量的极限点。 求表达式的左极限和右极限命令分别为 LIMIT(F,x,a,'right') LIMIT(F,x,a,'left'),例18、 求极限,syms x a t h; p1=limit(sin(x)/x) p2=limit(x-2)/(x2-4),2) p3=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) p4=limit(1/x,x,0,'right') p5=limit(1/x,x,0,'left'),%定义符号变量 %求第一个极限 %求第二个极限 %求第三个极限 %求第四个极限 %求第五个极限,p6=limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v = (1 + a/x)x, exp(-x); p7=limit(v,x,inf,'left'),%求第六个极限 %定义向量函数 %求第七个极限,得：,函数的台劳（taylor）级数展开 一元函数f(x) 的台劳（taylor）级数展开命令格式为 taylor(f，n，a) 其中，f为函数表达式，n确定级数最高项次数为(n 1)，a指定函数在某一点展开。 taylor(f) 得到函数f.的五阶麦克劳林多项式逼近； taylor(f,n) 得到函数f.的(n-1)阶麦克劳林多项式逼近 taylor(f,a) 得到f的关于点a的台劳多项式逼近。 taylor(f,x) 使用自变量x做台劳级数展开。,例19、 对下列函数做台劳级数展开 （1）e-x在 x=0处作5阶展开，（2）ln x 在x =1处作5阶展开； （3）sin x在x =/2 处5阶展开；（4）xt 在 t =0处作2阶展开。,syms x t T1=taylor(exp(-x),returns 1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5,T2=taylor(log(x),6,1),x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4+1/5*(x-1)5,T3=taylor(sin(x),6,pi/2),1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4,T4=taylor(xt,3,t),1+log(x)*t+1/2*log(x)2*t2,得：,例9. 麦克劳林展开函数,syms x f=1/(5+4*cos(x) T=taylor(f,8) Pretty(T),2 4 49 6 1/9 + 2/81 x + 5/1458 x + - x 131220,例3.7计算 f = 1/(5+4cos(x) 关于x的导数,syms x f=1/(5+4*cos(x) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1),f1 = 4/(5+4*cos(x)2*sin(x),可视化符号函数分析界面,1、单变量函数分析的交互界面 单变量函数分析界面用于考察两个一元函数各自性质及其相关关系。该函数计算器由funtool.m文件生成。在MATLAB命令窗口中键入命令 funtool 系统将产生三个新窗口。其中，1号和2号窗口（Figure No. 1，Figure No. 2）是函数曲线窗口，3号窗口（Figure No. 3）是函数运算控制器。系统初始状态时时刻，三个窗口中只有3号窗口处于激活状态，另两个处于睡眠状态。用鼠标单击1号（或2号）窗口，可激活该窗口，同时使原处于激活状态的窗口转换到睡眠状态。,第一个文本框中的函数f(x)换为 ，第二个文本 框中的函数g(x)换为 则另两个窗口的函数图形会发生变化，如下图所示。,swap 交换 f(x) 和g(x). cycle 顺序演示典型函数表中函数 insert 将当前函数插入典型函数表中代演示 help 帮助文件 delete 将1号窗口中函数从典型函数表中删除 demo 自动演示 reset 返回初始演示状态 close 关闭函数计算器,例5.求函数 的渐近线、极值、 拐点，并作图.,8/16,syms x n=3*x2+6*x-1； d=x2+x-3; f=n/d; limit(f,inf) ans=3 roots=solve(d) roots=-1/2+1/2*13(1/2) -1/2-1/2*13(1/2),ezplot(f) hold on plot(-2*pi 2*pi,3 3,g) plot(double(roots(1)*1 1,-5 10,r) plot(double(roots(2)*1 1,-5 10,r) title(水平渐近线和垂直渐近线) hold off,f1=diff(f); c=solve(f1) c= -8/3-1/3*13(1/2) -8/3+1/3*13(1/2) ezplot(f) hold on plot(double(c),double(subs(f,c),ro) title(函数的极大值和极小值) text(-5.5,3.2,局部极小值) text(-2.5,2,局部极大值) hold off,f2=diff(f1); q=solve(f2); double(q) ans=-5.2635 -1.3682-0.8511i -1.3682+0.8511i q=q(1); ezplot(f,-9 6) hold on plot(double(q),double(subs(f,q),ro) title(函数的拐点) text(-7,2,拐点) hold off,例7. 计算不定积分,syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); int(f,x); pretty(ans),b exp(a x) cos(b x) a exp(a x) sin(b x) - - + - 2 2 2 2 a + b a + b,g=simplify(ans) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2),例8.绘函数 (a = 1, b = 3 )在 0,3.2上的图形. 并计算,syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x) f1=subs(f,a,1),f1=subs(f1,b,3) ezplot(f1,0,3.22) F1=simplify(int(f1,1,2) double( F1 ) ans = -3.1806,例10、 计算定积分 ， ，,syms x y t q1=int(sin(x)+2,0,pi/6) q2=int(xy,y,0,pi/3) q3=int(4*x*t,x,2,sin(t),%定义符号变量 %求第一个积分 %求第二个积分 %求第三个积分,得：,q1 =-1/2*3(1/2)+1/3*pi+1 q2 =(x(1/3*pi)-1)/log(x) q3 =2*t*(sin(t)2-4),即：,例3.12 计算二重积分,syms x y f=x2*sin(y); int(int(f,x,0,1),y,0,pi) ezmesh(f,0,1,0,pi),ans = 2/3,定积分数值计算命令 quad(f, a, b) 例3.14 计算积分上限函数值,f=inline('x.3./(exp(x)-1)'); x=eps:.1:5;y=f(x);fill(0,x,5,0,y,0,'c') x=eps:0.1:10;y=f(x);line(x,y) q(1)=quad(f,eps,1); for k=1:4 line(k,k,0,f(k); q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1); end q,f=inline('exp(x).*sin(3*x)') quad(f,1,2) ans = -3.1806,计算定积分:,例9.,级数求和运算,S=symsum(f，n，a，b),例11.计算级数,S2=symsum(k2,k,1,n); factor(S2) S2= 1/6*n*(n+1)*(2*n+1),syms k n S1=symsum(k,k,1,n);factor(S1) S1 = 1/2*n*(n+1),S3=symsum(1/k2,k,1,inf) S3= 1/6*pi2,12/16,命令格式：dsolve(eq1,···,con1,···,x) y的一阶导数 Dy, y的二阶导数 D2y,例10.解微分方程,14/16,y = dsolve('Dy=1/(1+x2)-2*y2','y(0) = 0','x') y = 2*x/(2*x2+2),符号解： y(x)= x / (1 + x 2),旋转曲面绘制方法,非负函数 y =f(x)在有限区间上的图形为上半平面的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以x为对称轴的旋转曲面，方程为,绘制网面需创建三维坐标矩阵,对某一确定的x=t,旋转曲面上对应于过点x=t垂直于X轴的圆,该圆周上所有点的X坐标不变，y和z的坐标则满足圆的方程,f=inline('exp(-0.2*x).*sin(0.5*x)'); t=(0:20)*pi/10; theta=t;r=f(t); x=t'*ones(size(t); y=r'*cos(theta); z=r'*sin(theta); mesh(x,y,z) colormap(0 0 0) axis off view(-17,54),曲线 绕X轴旋转图形绘制,练习题与思考题,15/16,1.用MATLAB求极限,2.用MATLAB求导数,3.用MATLAB求定积分,4.用MATLAB求级数和,5.计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕X轴旋转的旋转曲面面积,6. 编写一个函数文件，用于计算椭圆周长，要求输入变量是椭圆的长半轴和短半轴。 7. 符号变量与数值型变量有何区别？ 8. 用两个窗口绘下列函数图形,分析函数性质,16/16,思考题与练习题,用syms x 定义了符号变量,表达式 Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同,2.定积分符号计算与数值计算有何不同？ 3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？ 4.写出曲线 y=f(x)绕y轴旋转的旋转曲面方程 5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个平面曲线的方程是什么?,