概率的概念古典概型几何概型概率的公理化定义.ppt

概率的概念 古典概型 几何概型 概率的公理化定义,第二章 事件的概率,频率：设A为随机试验E的任一事件，相同的条件下 重复n次，用nA表示事件A在n次试验中出现的次数， 称比值fn(A)=nA/n为A在n次试验中出现的频率,2.1 概率的概念,一 概率,概率: 随机试验中,事件A出现的可能性大小,记为P(A). 例如:反复投掷一牧均匀硬币，有如下结果：,2.1 概率的概念,一 概率,2.1 概率的概念,一 概率,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,非负性 0P(A) 1 规范性 P()=1 有限可加性 若A1， A2 ，A3 ，An互斥，则 即有限个互不相容的事件的和事件的概率等于这些事件的概率之和,2.1 概率的概念,二 概率的性质,公理代定义可以直接推出的性质,1) 证：令 由概率的可加性（3.1）得 而实数 2) 证：令 由条件（iii）,3) 证:因 4) 5)若,若随机实验E有如下特征： 1.有限性：试验的可能结果只有有限个 样本空间1, 2 , , n ; 2.等可能性:各个可能结果出现是等可能的 P(1)=P(2)=P(n). 则称这种实验为古典概型,2.2 古典概型,一 古典概型,设有一个古典型试验,其样本空间为, 1, 2 , , n 而事件A是由中的k(kn)个(也称为有利于A的样本点)不同的基本事件所组成,则A的概率为:,2.2 古典概型,二 古典概型概率的计算公式,2.2 古典概型,三 古典概型概率的性质,(1)非负性:对任意事件A,有 0P(A)1； (2)规范性:必然事件概率等于1,不可能事件的 概率等于0 P()1； P()=0 (3)可加性:如果事件A与B互不相容,即AB， P(AB)P(A)P(B),非负性与规范性 对任意事件A,有0P(A)1； 证: 对任意事件A,以kA表示它所包含的基本事件数， n表示基本事件总数，则对于任意事件A，有 0kAn 或 0kA/n 1 故 0P(A)=kA/n n/n = 1 即 0P(A)1 特别地： P()= n/n =1， P()= 0/n =0,可加性 如果事件A与B互不相容,即AB， P(AB)P(A)P(B) 证: 设 A含k1个基本事件：1(1), 2(1), k1(1) B含k2个基本事件：1(2), 2(2), k2(2) 即 A=1(1), 2(1), k2(1) B=1(2), 2(2), k2(2) 由定义 P(A)= k1/n, P(B)= k2/n 又由于AB AB=1(1), 2(1), k2(1) , 1(2), 2(2), k2(2) AB 中含有k1 +k2个基本事件 p(AB)=(k1 +k2)/n= k1/n+k2/n=P(A)P(B),解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,N()=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,(1) 判断试验为古典试验, 即基本事件总数为有限个, 且各基本事件出现的可能性相同。 (2) 计算样本空间中样本点的个数n ; (3) 计算事件A 包含样本点的个数m ; (4) 由P(A)=m/n 计算事件A 的概率。,古典概型的概率计算步骤：,基本记数原理 设有m个试验，第1个试验有n种可能结果， 对于第i(2i n)次试验，前i-1个试验的每一种可能结果，都使第i个试验有ni种可能的结果，则m个试验共有 n1×n2××nm 种可能的结果 排列与组合,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,则从甲城市到乙城市一共有：24= 6 条线路, ：2, ：4,城市甲,城市乙,复习：排列与组合的基本概念,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,n1,n2, ：2, ：4, ：3,城市甲,城市乙,乡村丙, 2, 3,从甲城市到丙乡村的线路 一共有：(2+4+3) ×(2+3) 条。,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,共有nk种排列方式.,n,n,n,n,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,2.2 古典概型,四 古典概型的计算,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,例1:在盒子中有3个白球，2个红球，现从中任抽2个球，求:(1)取到两个球都是白的概率；(2)取到一红一白的概率。 解:设 A=取到两个球都是白的 B=取到两球一白一红 基本事件总数为 A的有利事件数为 B的有利事件数为,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,例2：设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件，现按以下两种方式随机抽取2件产品. (a)有放回抽取；(b)无放回抽取.求(1)两件都是次品的概率；(2)第1件是次品，第2件是正品的概率. 解：设 A=两件都是次品 B=第1件是次品，第2件是正品 (a) 样本点总数为 n=100×100 有利于A的样本点数 kA=30×30 p(A)=kA/n=0.09 有利于B的样本点数 kB=30×70 p(B)=kB/n=0.21,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,(b) 样本点总数为 n=100×99 有利于A的样本点数 kA=30×29 p(A)=kA/n=0.088 有利于B的样本点数 kB=30×70 p(A)=kB/n=0.21,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,1抽球问题,盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,注：在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例3：某城市电话号码升位后为六位数，且第一位为6或8.求(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率;(2)随机抽取的电话号码末位数是8的概率. 解:记 A=随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率 B=随机抽取的电话号码末位数是8的概率 样本点总数为 n=2×105 有利于A的样本点数 kA=2×9×8×7×6×5 p(A)=kA/n=0.1512 有利于B的样本点数 kB=2×104×1 p(B)=kB/n=0.1,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,2随机取数,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,2随机取数,例4:从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N()=200,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,N(3)=200/24=8,(1),(2),(3)的概率分别为: 33/200,1/8,1/25,例5:一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯充好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，并且她在10次试验中都能正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解：样本空间为 n=210 A=10次试验中都能正确地辨别 P(A)=1/n=0.0009766,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,3品茶问题,例6:设某超市有奖销售，投放n张奖券只有1张有奖，每位顾客可抽1张，求第K位顾客中奖的概率（1 k n） 解：记A=第K位顾客中奖 到第K个顾客为止试验的样本点数为 n×(n-1) ××(n-k+1) 有利于A的样本点数为 (n-1) ××(n-k+1) ×1,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,4抽奖问题,例 7 （分球入盒） 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球, 共有,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,2.2 古典概型,四 古典概型的几类基本问题,有趣的数学模型： 假设每人的生日在一年的365天中的任一天的概率,是等可能的，即都等于1/365，那么随机选取n(365)个人，他们的生日各不相同的概率为 因而，n个人中至少有两个人生日相同的概率为 P=1- 经计算可得下述结果： 在仅有50人的班级里，“至少两个人生日相同”这件事的概率与1相差无几,几何概型： 试验的可能结果可以为无限个 各个可能结果出现是等可能的 几何概型的计算公式,2.3 几何概型,一 几何概型,例3.某公共汽车站从上午7时起，每隔15min来一趟车，一乘客在7：00到7：30之间随机到达该车站，求 （1）该乘客等候不到5min乘上车的概率；（2）该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率. 解：=7：00T 7:30, SA=7:10 T 7:15或7：25T 7:30， SB=7:00 T 7:05或7：15T 7:20. 如将T的单位化为分钟，则有ll=30,lSl=30, 因此 P(A)= P(B)=1/30.333,2.3 几何概型,一 几何概型,2.3 几何概型,一 几何概型,例4 桌面上划有一族等距的平行线，每相邻两条线之间的距离为d，今将一根长为l(d)的针随机地投向该桌面，求针与其中一条平行线相交的概率,解：设o表示针的中点,x表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针与直线OM的交角，有 0xd/2, 0 /2 可以确定，x, 平面上的一个矩形 =(x, )l 0xd/2,0 /2 为了使针与平行线相交，其条件为 由等可能性知,设E是随机试验, 是样本空间,对E的每一个随机事件A,定义一个实值函数P(A),若P(A)满足下列条件, 公理1（非负性）0 P(A) 1 公理2（规范性）P()=1 公理3（完全可加性）对任意一例两两互斥事件A1,A2, 有 则称P(A) 为事件A的概率,2.4 概率的公理化定义,一 定义,性质1 P()=0 性质2 P()=1- P(A) 证：因为 A= 且 A=Ø 由定义中的规范性知 P(A)=P()=1 又由完全可加性知 P(A)= P()+P(A)=1 所以 P()=1- P(A),2.4 概率的公理化定义,二 性质,性质3 若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)且P(A)P(B) 证：当AB时，有 B=A(B-A) 且 A(B-A)=Ø 由完全可加性知 P(B)=PA(B-A)=P(A)+P(B-A) 即 P(B-A)=P(B)-P(A) 又 P(B-A)0 于是 P(B)P(A),2.4 概率的公理化定义,二 性质,P(B-A)= P(B-AB)=P(B)-P(AB),性质4 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 证：因 AB=A(B-AB) 且 A(B-AB)= Ø 因而 P(AB)=P(A(B-AB)=P(A)+P(B-AB) 又因为 ABB P(B-AB)= P(B)-P(AB) 故 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 注： 一般情况有下 P(AB)P(A)+P(B),2.4 概率的公理化定义,二 性质,例5 已知P(A)=0.9, P(B)=0.8, 试证P(AB) 0.7 证：由 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 知 P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB) P(A)+P(B)-1 =0.9+0.8-1 =0.7,2.4 概率的公理化定义,例6（生日问题）设一年有365天，求下述事件A，B的概率： A=n个人中没有2个人生日相同 B=n个人至少有2人生日在同一天 解： 样本空间点数为 365n 有利于A的样本点数为 Pn365 p(A)=Pn365/365n B为 A 的补事件 B= P(B)=P()=1-P(A),2.4 概率的公理化定义,例7 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率； （2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率； （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设 A取到的数能被2整除; B-取到的数能被3整除,故,第二章 课后作业,习题二 2，4，6，8，9，10，11,