第3章二体问题.ppt
第3章 二体问题, 弹性散射（碰撞问题）, 粒子在中心势场中的运动（束缚态问题）,内容： 处理二体问题的一般方法,难点： 散射截面,重点： 粒子在中心势场中的运动,多个相互作用着的粒子体系的运动问题称为多体（或N体）问题。例如，太阳系就是典型的多体运动体系。多体问题理论上至今尚未完全解决。本章只讨论两个粒子体系的运动，即二体问题。,3.1 二体问题概述,3.1.1 二体问题的类型：三类,（3）俘获和衰变问题,特点：过程前后粒子数从2变为1或由1变为2。,（1）束缚态问题,特点：两体间始终保持有限距离，如电子绕核、行星绕太阳的运动。,（2）散射（或碰撞）问题,特点：两粒子从相距无穷远处逐渐接近，经过相互作用后又相互分离至无穷远。如加速后的电子（或质子）打到靶上或粒子彼此对撞。,（1）将二体问题化为单粒子问题,二体问题可以分解为以下两个运动或者可看作是以下两个运动的合成。,（3.1）,由以上二式，解得,（3.3）,3.1.2 处理二体问题的一般方法, 相对于质心C的运动：可以约化为一个单粒子的动。, 质心C的运动：遵循质心运动定理。,体系的动能为,（3.4）,则体系的拉格朗日函数为,（3.6）,其中：,（3.7）,是描述质心运动状态的拉氏函数，,（3.8）,是表征两个粒子间相对运动状态的拉氏函数，而,（3.9）,称为折合质量.,结论：,（原点在质心C，坐标轴与 平行）,（2）两粒子相对运动的两种描述方法, 用一个粒子相对于另一个粒子的运动来描述, 用两个粒子各自相对于质心的运动来描述,采用实验室坐标系和质心坐标系两个坐标系。这种描述方法称为粒子 在质心系中运动,两种描述方法的联系：,如图3.2所示：,：质心坐标系,：实验室坐标系,平行）,（3.10）,（3.11）,比较（3.10）式和（3.3）式，有,（3.12）,体系相对运动动能为,（3.13）,由此可见：,3.2.1 单粒子在中心势场中的运动,（1）运动特征和规律, 受中心力作用,粒子在中心势场中受中心力作用,（3.14）, 机械能守恒,粒子的拉格朗日函数为,3.2 粒子在中心势场中的运动,（3.15）, 轨道方程,积分，可得粒子运动方程,常数,（3.19）,（3.20）,消去dt得轨道方程,（3.21）,（2）有效势能,将（3.18）式写成：,（3.23）,的变化区间由（3.21）式决定,由两个圆限制的整个圆环的曲线（不闭合椭圆）如图3.3所示。,牛顿引力势和库仑静电势是典型、常见的与距离成反比的中心势场。,（1）有效势能曲线,（3.24）,对应的有效势能为,（3.25）,（3.26）,根据以上特征，有效势能曲线如图3.4所示,（2）粒子运动情况,作用下飞向无穷远而成为自由粒子。,（3）轨道方程, 由（3.21）式和（3.24）式：,可得轨道方程,则轨道方程为,（3.27）,上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。, E 0时，e 1，为椭圆；, E = 0时，e = 1，为抛物线；, E 0时，e 1，为双曲线,如图3.5所示。,行星绕太阳、电子绕原子核运动轨,道为椭圆。（为什么？）,则有效势能为,（3.29）,由此可见：,粒子的轨道方程为,（3.30）,是双曲线另一支，如图3.6所示。,3.2.3 粒子运动轨道的稳定性,粒子在中心势场中的运动轨道是个重要的也是我们最感兴趣的问题。在实际应用中，总希望有确切的轨道方程和轨道是闭合的、稳定的。,（1）粒子轨道稳定性的含义,（2）轨道稳定条件,（3.31）,（3.32）,式中微小量，将（3.33）式代入（3.32）式：,（3.34）,(3.35),其中,(3.36),(3.35)式的解为:,将（3.36）式代入（3.32）式，去掉下标，得轨道稳定性条件为：,（3.37）,或,（3.38）,几种势场中粒子轨道的稳定情况：,所以，与距离平方成反比的中心势场中的粒子的轨道永远是稳定的。,这是行星轨道和原子结构的力学稳定性的理论解释。,即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在,处作圆周运动,）是不稳定的。,轨道永远稳定。,（3）圆形轨道稳定判据,如果已知粒子在中心势场中沿圆形轨道运动，根据圆形轨道必在,取极值处出现，而极小值为稳定轨道，所以圆形轨道稳定条件为,（3.39）,（3.40）,（3.40）或（3.41）式为圆形轨道稳定性条件（或判别式）。,3.3弹性碰撞,粒子的碰撞是典型的二体问题。如果两个粒子碰撞前后粒子内部状态不发生改变，称为弹性碰撞或弹性散射，否则称为非弹性碰撞。,弹性碰撞的特点：动量、角动量、机械能、动能守恒（Why？）,弹性碰撞中要讨论和解决的问题：,· 找出碰撞前后粒子运动必须满足的条件，即速度关系运动学问题.,· 找出碰撞前后粒子的状态与相互作用势V（r）的关系动力学问题 （或散射问题）,3.3.1 碰撞运动学速度关系,（1）用质心系描述,碰撞前后的速度，如图3.7所示:,由以上二式，可得,（3.42）,式中,为二粒子的相对速度。,根据动量守恒和能量守恒，有,（3.43）,（3.44）,由以上二式，得,（3.45）,（3.46）,可得,（3.47）,3.3.2 散射截面,在宏观现象中，碰撞意味着物体（质点）直接接触。现代物理学所研究的碰撞问题大多是微观粒子之间的碰撞，这时粒子间的相互作用是非接触作用。例如分子或原子相互接近时，由于双方很强的相互作用斥力，迫使它们在接触前就偏离了原来的运动方向而分开散射。在散射问题中，人们所关心的是散射粒子的分布及散射前后粒子各种性质的变化。由此，推断粒子间相互作用及内部结构。,O 散射中心,（1）散射角, 散射角,b 瞄准距离,（3.48）,（3.49）,（3.50）,（3.51）,决定。（3.48）、（3.50）、（3.51）就是计算散射角的基本公式,（2）微分散射截面,（3.52）,（3.53）,根据立体角定义，有：,代入上式得,（3.54）,（3.55）,3.3 粒子的分裂（衰变）,（1）在质心系中讨论,分裂前粒子的动量和动能都为零，能量为其内能U，根据动量守恒定 律：,（3.56）,分裂前后体系的内能之差称为分裂能：,（3.57）,（3.58）,显然0，（3.57）式代入（3.58）式得,（3.59）,（3.60）,（2）在实验系中讨论,（3.61）,（3.62）,以上讨论的是一个粒子分裂的情况。实际物理问题中遇到的往往是很多个相同粒子的分裂，因此，必须考虑新生粒子按方向、能量分布的情况。,3.4 解题指导,（1）本章习题的类型和基本解法,本章习题常见的有两种类型：,· 粒子在中心势场V=V（r）中运动问题的计算,基本解法：应用动力学方程、角动量守恒定律和机械能守恒定律即可求得所要求的量。,· 碰撞问题的计算,通常是已知碰撞前粒子的运动情况和相互作用势V（r），求碰撞后粒子的运动变化（如碰撞后运动的速度大小与方向）和散射情况（散射,分布）,基本解法：分清碰撞前、碰撞过程和碰撞后三个阶段；碰撞前后两个阶段可应用动量定理、质心运动定理、动量矩定理、动能定理和恢复系数公式；在碰撞过程阶段只能用积分形式的动量定理（或质心运动定理）和动量矩定理，不能用动能定理（因碰撞力的功很难计算）,（2）范例,解：取图3.10所示的极坐标，根据动量矩守恒,（2）,由（1）和（2）式得,即,（3）,（4）,故质点所受的中心力为,或,（1）,由机械能守恒，有,（2）,？）,由（1）、（2）式，得,（舍去负根）,本例是著名的粒子散射实验的原理。1911年，卢瑟福（Rutherford）在研究粒子散射实验基础上，提出了原子的有核类型，为原子结构和原子核的研究奠定了基础。,解：（1）求运动轨道,（1）,（2）,式中,（3）,将（2）代入（1）式，得,积分得,（4）,由初始条件：t=0时，,（5）,（6）,或,（7）,（7）式为半径为a的圆，力心在圆周上，如图3.13所示。,（2）求运动方程,（8）,由（6）、（7）、（8）三式，可得,积分上式并代入初始条件：,时,，可得质点的运动规律：,
