傅里叶变换经典.ppt

1,积分变换,Fourier变换,Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式),2,§1 Fourier积分公式,1.1 Recall:,在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).,3,最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近. Fourier级数,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,4,研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的 情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的 情况.,Dirichlet条件：,连续或只有有限个第一类间断点；,只有有限个极值点；,可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：,5,引进复数形式：,6,级数化为：,7,合并为：,级数化为：,若以 描述某种信号，,则 可以刻画 的特征频率。,8,对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期 函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在-T/2,T/2之内等于 f (t), 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有,9,例 矩形脉冲函数为,如图所示:,1,-1,O,t,f (t),1,10,现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则,11,则,12,sinc(x),x,sinc函数介绍,13,前面计算出,w,可将 以竖线标在频率图上,14,1,-1,7,T=8,f8(t),t,现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造 一周期为8的周期函数f8(t),15,则,16,则在T=8时,w,再将 以竖线标在频率图上,17,如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出,w,再将 以竖线标在频率图上,18,一般地, 对于周期T,19,当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.,20,1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理,21,22,23,24,付氏积分公式也可以转化为三角形式,25,又考虑到积分,26,§2 Fourier变换 2.1 Fourier变换的定义,27,Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的 一种充分条件.,28,在频谱分析中, 傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函 数, 而它的模|F()|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间 函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱.,29,例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其 积分表达式。,30,31,32,2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换,在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.,33,在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t) 表示上述电路中的电荷函数, 则,当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通 导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.,34,如果我们形式地计算这个导数, 则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进 一个称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成d-函数:,有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例 如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的 非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以 统一的方式加以解决.,35,（在极限与积分可交换意义下）,工程上将d-函数称为单位脉冲函数。,36,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个 线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.,t,O,d (t),1,d-函数有性质：,可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分 都有明确意义。,37,d-函数的傅氏变换为:,于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.,证法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得,例1 证明：1和2pd (w)构成傅氏变换对.,证法1：,38,由上面两个函数的变换可得,39,例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数 等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉 冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓 广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可 以说,象原函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.,在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅 氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件,40,例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。,41,例 5 证明：,证：,42,43,§3 Fourier变换与逆变换的性质,这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.,1.线性性质:,44,2. 位移性质:,证明：,为实常数，则,45,3. 相似性质：,证明：,46,例1 计算 。,方法1：（先用相似性质，再用平移性质）,47,方法2：（先用平移性质，再用相似性质）,48,4.微分性质：,像原函数的微分性质：,则,49,5.积分性质：,6. 帕塞瓦尔(Parserval)等式,50,实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换, 则所有的 傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的 性质导出.,51,例2 利用傅氏变换的性质求d (t-t0),性质,性质,52,例3 若 f (t)=cosw0t u(t), 求其傅氏变换。,53,7.卷积与卷积定理,卷积定义：,卷积的简单性质：,54,例1 求下列函数的卷积：,由卷积的定义有,55,卷积定理：,56,例2 求 的傅氏变换。,性质,57,利用卷积公式来证明积分公式：,证明：,