分离变量.ppt

第1部分 直角坐标系中的 分离变量法,适用条件,奇次问题 只有一个边界条件是非奇次的问题 超过一个非奇次边界条件的问题,主要内容,分离变量法 直角坐标系中热传导方程的分离 有限大物体的一维奇次问题 半无限大物体的一维奇次问题 非奇次问题分解成简单问题,2.1 分离变量法,数学模型,求解过程,物理意义：,时间变量函数T（）满足微分方程,求解,特征值： 只对分离参数取一些特定值 m，m1，2，3，才有解，这些分离参数的值称为特征值。 特征函数： 相应的解X（m ，x）称为该问题的特征函数。,空间变量函数X（x）满足微分方程,线性叠加原理构成方程的解,存在的问题： 满足控制方程、边界条件。不一定满足初始条件。如何确定cm？,利用初始条件,范数,Cm的确定,数学模型的解,显函表达式,2.2 直角坐标系中热传导方程的分离,求解：,2.3 有限大物体的一维奇次问题,物理模型,数学模型,求解,时间变量函数()的解：,空间变量函数X(，x) 特征值问题,解为：,利用特征函数的正交性得到,2.4 半无限大物体的一维奇次问题,物理模型,数学模型,问题的求解,2.5 多维的奇次问题,物理模型,数学模型,分离形式,解得,利用特征函数正交性确定Cm,2.7 不含热源的多维稳态问题,只有一个边界条件是非奇次的，可用分离变量法求解 不只以非奇次边界条件，可将该问题分解成一组简单的问题，每个问题只有一个非奇次边界问题。,非奇次部分,数学模型,物理模型,分离形式,上式满足热传导问题及三个奇次边界条件，系数Cm可根据方程的解还应满足非奇次的边界条件来确定。,依据正交性,2.8 非奇次问题分解成简单的问题,第2部分 圆柱坐标系中的 分离变量法,主要内容 圆柱坐标系中奇次热传导方程的变量分离； 针对边界条件的不同组合求得分离后的问题的基本解、范数及特征值； 介绍用分离变量法求解一维和多维奇次热传导问题；,3.1 圆柱坐标系中热传导方程的分离,Helmholtz 方程,该式若成立，每一项等于任意分离常数，即,修正贝塞尔函数,阶贝塞尔（Bessel)微分方程,1. 温度与变量无关,R(, r)为零阶贝塞尔函数,2. 温度与变量z无关,3. 温度与变量无关,3.2 变量为（r，t）的奇次问题,物理模型,数学模型, 区域为,时间变量函数,空间变量函数,模型的解,模型的求解,已知：,对于,求解,对应三种边界条件有不同的表达式, 区域为,物理模型,数学模型,时间变量函数,空间变量函数,模型的解,模型的求解,3.3 变量为（r，z，t）的奇次问题,物理模型,数学模型,模型的求解,方程的分离解为：,