第二型曲面积分.ppt

§2 第二型曲面积分,曲面的侧,双侧曲面,有向曲面的正侧,背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义,一 第二型曲面积分的概念与性质,存在且与分割T与点的取法无关，则称此极限为函数P，Q，R在曲面S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为,上述积分(1)也可写作,第二型曲面积分的性质,(1)若,都存在，,为常数，则有,(2)若曲面S由两两无公共内点的曲面块,所组成，,都存在，则,也存在，且,二 第二型曲面积分的计算,定理222设R为定义在光滑曲面 S:,上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线正向与Z轴正向成锐角 ），则有,证 由第二型曲面积分的定义,这里,，因,立刻可推得,由相关函数的连续性及二重积分的定义有,=,所以,=,类似地：P为定义在光滑曲面S：,上的连续,函数时，而S的法线方向与X轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有,=,类似地：P为定义在光滑曲面S：,上的连续,函数时，而S的法线方向与Y轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有,=,注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号,例1 计算,的部分并取球面外侧,其中S是球面,在,解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为,，,