第十讲数值积分教学课件.ppt

1,第十讲 数值积分,2,第十讲主要知识点,求积公式、代数精度的概念 牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式* 各种求积公式的代数精度,3,引 言,依据微积分基本定理, 只要找到被积函数 的原函数 ， ，便有牛顿-莱伯 公式 由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数， 而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。,4,数值求积的基本思想,依据积分中值定理， 就是说，底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。 取 内若干个节点 处的高度 ， 通过加权平均的方法生成平均高度 ，这类求积公式称机械求积公式： 式中 称为求积节点， 称为求积系数，亦称伴随节点的权。,5,定积分的思想,1.求积公式的一般形式 我们知道，定积分是求和式的极限即 。 它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。,6,矩形公式,将被积函数,在a处泰勒 展开,，,在x、a之间，,在,上连续，而,在,上不变号（非负），由积分中值定理知,于是有,两端积分,注意右端第二项，设,式称为左矩形公式，其余项为,，,7,矩形公式(续),或者写为,同理，有右矩形公式,和中矩形公式,8,插值型求积公式,由插值理论可知，任一函数,给定一组节点,后，可用一n次多项式,对其插值，即,因此,当,为拉格朗日插值多项式时，即,则,，,9,插值型求积公式(续),其中,通常称公式为插值型求积公式。,10,代数精度的概念,数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供 求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。 如果机械求积公式对 均能准确成 立但对 不准确，则称机械求积公式具有 次 代数精度。 事实上，令求积公式对 准确成立，即得 可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本 质上是个解线性方程组的代数问题。,11,插值型求积公式的代数精度(续1）,容易验证左（右）矩形公式具有零次代数精度，中矩形公式具有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项,因此对于次数不大于n的多项式,其余项,因而插值型求积公式至少具有n次代数精度。,12,插值型求积公式的代数精度(续2）,反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，则对于插值基函数,（为n次多项式）求积公式准确成立，即,注意到,，上式右端实际上等于,即,求积公式为插值型求积公式。,13,插值型求积公式的代数精度(续3）,定理 机械求积公式至少有 次代数精度的充 分必要条件是它是插值型的。,14,梯形公式,利用插值求积公式，构造等距节点插值多项式,并以,近似,，这样就可以得到各种近似公式,过,两点，作直线,以,近似,得：,易见，上式的几何意义是用梯形 面积近似代替曲边梯形的面积， 故称式为梯形求积公式，如图所示。,15,梯形公式(续1）,定理5.2 设,在区间,上具有二阶连续导数，则梯形求积公式有误差估计：,证明：由插值求积公式误差(5.9)式得,由于,，且,，,用积分中值定理，存在,使,16,梯形公式(续2）,显然梯形公式至少具有一次代数精度。可以令,则有,因此梯形公式的代数精度为1。,17,梯形公式例题,例1 利用梯形公式计算,解：,18,牛顿柯特斯公式,设分 为 等份，步长 ，取等分点 构造出的插值型求积公式（其中 ） 称作 阶牛顿柯特斯公式。 一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别是梯形公式 和辛甫生公式 四阶牛顿柯特斯公式，也称为柯特斯公式：,19,几种低阶求积公式的代数精度,阶的牛顿柯特斯公式至少有 次代数精度， 事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精 度方面会获得 “额外” 的好处，它们分别有3 次和5 次代数精度。 因此，在几种低阶的牛顿柯特斯公式中，人们 更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫 生公式和柯特斯公式。,20,几种低阶求积公式的余项,利用线性插值的余项公式以及积分中值定 理，我们可以得到梯形公式的余项： 利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值 定理我们可以得到辛甫生公式的余项： 另外，我们可以得到如下柯特斯公式的分 余项：,21,复化求积公式,在使用牛顿柯特斯公式时，通过提高阶的途 径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精 度，一种行之有效的方法是复化求积。 将 分为 等份，步长 ，分点 所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每 个子段 上的积分值 ，然后用 作为积 的 近似值。复化梯形公式有如下形式： 其余项为：,22,把区间a，b分割成 n 等分，分点 得到 复化左矩形公式,复化求积公式(续1）,23,复化求积公式(续2）,24,梯形法的递推化,实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往 往很困难，所以我们往往采用变步长的计算方案，即 在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进 行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。 设 表示复化梯形求得的积分值，其下标 是 等分数，由此则有递推公式 其中,25,梯形法的加速,梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓提 高收敛速度以节省计算量呢？ 由复化梯形公式的截断误差公式可得， 整理得， 由此可知， 这样导出的加速公式是辛甫生公式：,26,龙贝格算法,我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值 逐步加工为精度较高的积分值 ： 或者说将收敛缓慢的梯形值序列 加工成收敛迅速的 积分值序列 ，这种加速方法称为龙贝格算法。,27,例2用Romberg公式计算积分 解：按Romberg公式的求积步骤进行计 算，结果如下：,龙贝格算法例题,28,龙贝格算法例题(续1）,29,龙贝格算法例题(续2）,30,把区间再分半，重复步骤(4)，可算出 结果： 至此得 ，因为计算只用小 数点后五位，故精确度只要求到0.00001因 此积分,龙贝格算法例题(续3）,31,高精度的求积公式,不失一般性，设 ，考虑下 列求积公式 我们将会看到，适当的选取求积节点 可以使上述求积公式具有 次代数精度， 这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss） 公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。,32,高斯点的基本特性,尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由 于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的 困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯 公式的构造问题。 设 是求积公式中的高斯点，令 则有如下结论： 定理 节点 是高斯点的充分必 要条件是多项式 与一切次数 的多项式 正交，即成立,33,勒让德多项式,以高斯点 为零点的 次多项式 称为勒让德(Legendre)多项式。 一般的，勒让德多项式可以依据 来求得。,34,牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。,高斯公式,35,高斯公式(续1）,36,高斯公式(续2）,37,高斯公式(续3）,38,高斯勒让德公式,39,高斯勒让德公式(续）,40,带权的高斯公式,41,高斯公式例题,42,高斯公式例题(续),43,本讲结束！ 谢谢大家！ 再见！,