高等代数专题研究期末复习指导(文本)知识点复习考点归纳总结参考.doc

高等代数专题研究期末复习指导（文本） 张进军：各位老师，同学，大家好。期末教学活动开始了，欢迎大家一起探讨学习过程的 问电大考试电大小抄电大复习资料 题。 关于期末考试 本次期末考试从要求上说，没有变化。依然保持半开卷形式。要求同学们注意复习基 础知识和熟练掌握基本技能。 什么是高等代数 各位老师和同学，我这里先找出一些资料，希望在同学们复习之间提高对这门课的了 解。 第一篇资料就是“什么是高等代数”： 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组， 另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨 论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。 发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等 代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通 常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运 算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量 空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间 中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。 高等代数发展第一阶段 第二篇资料是“高代发展简史（一） ”，内容为： 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不 平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公 元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的缉古算经就 有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的数书九章这部书的“正负开方 术”里，充分研究了数字高次方程的求正根的方法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高 次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程 解的公式卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数 学家卡尔达诺(15011576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所 以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式) ，其实，它应该叫塔塔里亚公 式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(15221560) 解出。 这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这 个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(18021829) 证明了五次或五次以上 的方程不可能有代数解。即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、 开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体 的方程是否可以用代数方法求解的问题。 高等代数发展第二阶段 第三篇资料是“高等代数简史（二）-五次或五次以上的方程不可能有代数解的被证 明” ，内容是： 五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底 解决了。伽罗华 20 岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱， 1832 年 4 月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅 21 岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自 己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我 在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的。公开请 求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将 来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。 ” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在百科评论中。他的论文手 稿过了 14 年，才由刘维尔(18091882) 编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十 分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次 方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展 了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方 法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促 进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他 的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容 下面的资料是描述了高等代数研究的基本内容： 代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目， 比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、 向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于 数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一 些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程 的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数 方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和 中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非 就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 同学们都知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性 代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由*世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫 做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法” ，书里对行列式的概念和 它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。 德国数学家雅可比于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此 行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说 行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩 阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的 有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量； 这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问 题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、 物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些 对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再 保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些 集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理 现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的 一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系 在学习高等代数课程时，同学们也应该从了解其与其他学科的关系入手，这样学习才 能做到贯通知识的链接，对学习起到有益的作用。 代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展， 基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？ 首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于 离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候 需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。 这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注 意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一 特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数 学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分 支，成为众多学科的共同基础。 我们这门课程的内容 虽然高等代数的内容很多，但在我们的课程中，主要选择了集合论、不等式理论、多 项式理论、组合论、伽罗华理论中的主要内容。这些内容都是中学的代数教学中重要的理 论依据。 关键点 前四章中的内容为考试内容，要求及题型可以参照上次辅导内容。 模拟题目 一、单项选择题 1. 令 Q 是正有理数集，若规定 ，则( ) 2ba (A) 是代数运算且满足结合律 (B) 是代数运算，但不满足结合律 (C) 不是 Q 上的代数运算 (D) (A),(B),(C)都不对 2. 域 F 有无穷多个元素，域 F 上的多项式 ，Faxaxf inn,.)( 01 则( ) (A) f(x)在域 F 上至少有一个根 (B) f(x)在域 F 上最多有 n 个根 (C) f(x)在域 F 上没有根 (D) f(x)在域 F 上恰有 n 个根 3. 虚数 是有理数域上的 ( )1i (A) 代数元 (B) 超越元 (C) 可逆元 (D) 既约元 4.若 Dn表示 n 个数码的扰乱排列总数，则 Dn( ) (A) Dn1 +Dn2 (B) nDn1 (C) (n1)(D n1 +Dn2 ) (D) n (Dn1 +Dn2 ) 5. 整系数多项式 的有理数根 ，(p,q)=1，则( ) 0.axa (A) pan，qa n (B) pa0，qa 0 (C) pan，qa 0 (D) pa0，qa n 二、填空题 6. 自然数 a 与 b 的加法定义所满足的两个条件是 7. 函数 f(x)是上凸函数的定义为 8. 整环 R 中的元素 p 是 R 中的不可约元素，则 p，p 不是可逆元，由 p=a×b 9. 由 5 个元素取 7 个的可重复组合数是 10.整数环 Z 上的多项式 为本原多项式，则011.)( axxaxfnn (an,an1 ,a1,a0) 三、简述题 11. 试给出一个从整数集 Z 到自然数集 N 的的单映射，但不是满映射 12. 试给出一个从整数集 Z 到自然数集 N 的的双射 三、计算题 13. 设 x，y ，z 是正实数，且 xyz=10，求 2x+3y+4z 的极小值 14. 求(x+ y+z)6 展开合并同类项后共有多少项，并指出项 x2y3z 的系数 15. 求从 1 到 2 000 的自然数中能被 5 或 7 或 11 整除的自然数个数 16. 从 n 个数码 1,2,n 中取 k( )个数码，但不允许取两个连续数码 (如 1，2 不能 连续取)，求共有多少种取法 四、证明题 17. 设 Z，证明集合 R 对于普通数的加法和乘法构成一个整环kmR,2 18. 利用反归纳法证明：n 个正数的算术平均值大于等于这 n 个正数的几何平均值，即 R)iinnxxx,0(211 高等代数专题研究试题解答 一、单项选择题 1. B 2. B 3. A 4. C 5.C 二、填空题 6. a+1=a；a+ b=(a+b) 7. q1+q2=1,q10，q 20，f(q 1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2) 8. a 为可逆元或 b 为可逆元 9. 10. 17 三、简述题 11. 如 (nN)，(不惟一) 032)(nf 12. 如 (nN)，( 不惟一)1f 四、计算题 13. 因为 x，y，z0 ， 所以 333 2404242 xyzzyx 所以 2x+3y+4z 的极小值是 06 14. 共有 ；x 2y3z 系数为 8728613C6!1 15. 设 A能被 5 整除的自然数，B 能被 7 整除的自然数 C 能被 11 整除的自 然数则 ，80,570,40 C ，361520,271,572 A 50CBA 所以， CBB 4002851815727365751 16. 用 f(n,k)该数，f(n,k )=f(n1,k )+f(n×2,k1) ，f(n,k)= kn1 参考原教材 P152：定理 5.1 五、证明题 17. 易知 R 对于数的加法和乘法封闭 ，在 R 中有零元)(20Zm ，即存在负元素),kk ，×满足结合律，且×对满足分配律 存在 , ，021 ),(212Zmkm 总之，R 是整环 18. 当 n=2,4,8,2m时命题正确 设命题对 n=k 时正确，即 kxxSkk.21 则 ，所以 ，即 xSk 121. kkSxS121.k 因而 ，所以命题对一切自然数成立112.k 高等代数专题研究试题二 一、单项选择题 1. 集合 A=1,2,3 ，则 A 的幂集P(A) = ( B ) (A) 3 (B) 23 (C) 32 (D) 33 2. 如果 a2+b2+c2=1 ，则以下结论正确的是( A ) (A) (B) (C) ab+b+ca (D) 9cb211cba 3. 设 R 是整环,a,b 是 R 的任意元素，dR，使得( C )，则称 d 是 a,b 的公因式 (A) ad,bd (B) abd (C) da,db (D) dab 4. 若 f(x)是域 F 上的 n 次多项式，则 f(x)在域 F 中( D ) (A) 至少有 n 个根 (B) 恰好有 n 个根 (C) 可能有根，也可能无根 (D) 至多有 n 个根 5. 设 f(x)是多项式，则 f(x)除以 2x1 的余式是( A ) (A) f( ) (B) f( ) (C) f(2) (D) f(2)21 二、填空题 6. 给定自然数 a,b，若存在一个数 k，使得 a=b+k 则称 a 大于 b 7. 不等式aba +b取等号的条件是 ab0 8. 将 m 个苹果(不可区分)放入 m+1 个盒子里，共有 种方法mC2 9. 模 8 的剩余环 Z8 中可逆元素的个数有 4 个 10. 自然数 e 是有理数环上的 超越 元 三、简述题 11. 试给出一个从 Z 到 N 的单射，但不是双射的映射并说明理由 解答：设 f：ZN，任给 xZ，f (x)= 0,23x 任给 x1,x2Z 且 x1x2，如果 x1,x2 均大于 0，则 f(x1)=2x1+3f(x2)=2x2+3； 如果 x1,x2 均小于 0，则 f(x1)=2x 1f(x2)=2x 2；如果 x1x20）次多项式至少有一个复数根 三、计算题 13. 设五个数字上的置换 ，求 1 24513,45132 解： ， 415231 34152 43 14. 已知正实数 x,y,z 满足 x+2y+6z=19，求 2x2+y2+9z2 的极小值 解 因为 192=(x+2y+6z)2= )31( (柯西不等式) 92(169)4222 zyxzyx 所以 的极小值为 192× =304229zyx196 15. 求 Z6x中的多项式 在 Z6 中的全部根x53 解：Z 6 中的元素为 ， ,4,0 逐一代入 ，可知全部根为53 ,421,0 16. 求由 2 个 0，3 个 1 和 3 个 2 组成的八位数的个数 解 这是一个 S=2a,3b,3c的全排列问题， 但是 0 不能作首位，而 1 或 2 为首位的八位数都是 10!)( 故所求八位数共有 210+210=420 个 四、证明题 17. 求证若域 F 只含有 p 个元素，则从函数论的观点出发 F 上的不同多项式只有有限 个 证明 域 F 上任意一个多项式都是 FF 的映射 但因为 F 只有 p 个元素，因此 FF 的映射只有 pp个，所以 F 上的多项式最多只有 pp 个 18. 证明：如果在边长为 1 的等边三角形内任取 10 点，则必有 2 个点，它们的距离不 大于 31 证明 将等边三角形的各边三等分，过各边的分点作直线平行相邻边，这些直线将等 边三角形均匀地分成 9 个全等的小等边三角形，它们互补相交且并为原等边三角形小等 边三角形的边长为 在等边三角形的内部任取 10 个点，由抽屉原理，至少有 2 个点取自同一个小等边三角 形，该 2 点的距离小于或等于小等边三角形的边长 结论得证 31 高等代数专题研究试题三 一、单项选择题 1.整环中素元素的定义为( D ) (A) p，p 不是可逆元素 (B)p 不是可逆元素，也不是不可约元素 (C)p且 p 不是可逆元素，由 pa×bpa 和 pb (D)p，p 不是可逆元素，由 pa×bpa 或 pb 2. 若 A 是无限集合，则( A ) (A) 存在一个 A 到 A 的真子集的单射 (B) 不存在由 A 到 A 的真子集的单射 (C)不一定存在由 A 到 A 的真子集的单射 (D) 可能存在由 A 到 A 的真子集的满射 3. 在剩余类环 Z8 上的 n 次多项式 则1,.8011 nZaxxinn 在 Z8 内( D ) (A) 最多有 n 个根 (B) 没有根 (C) 恰好有 n 个根 (D) 不一定有 n 个根 4. 若+ =1，0，0，a0，b0,ab，则( B ) (A) a+b=a+b (B) a+bab (C) a+b ab (D) a+bab 5. Zx是( A ) (A) 因式分解惟一环 (B) 主理想环 (C) 剩余类环 (D) (A),(B),(C)均不成立 二、填空题 6. 自然数 ab 的定义为 a=b+k 7. 从 n 个不同元素中取出 n+1 个元素的组合数是 (可重复组合)12nC 8. 5 个数码 1,2,5 的扰乱排列总数是 4!53!(!5 9. 是有理数域上的 代数 元 2 10. 举出一个整环的例子，其中素元素不可约元素， ,3ZbaR (不惟一 ) 三、简述题 11. 试叙述元素 b 是代数元、超越元(未定元) 的定义 解答：设环 R 是环 S 的子环，对于 S 中的元素 b，若 R 上存在不全为 0 元素 a1,a2,an，使得 0.11an 则称 b 是 R 的代数元 (5 分) 12. 试叙述上凸函数的定义 解答：若函数 f(x)满足：对任意 x1，x 2，都有(121 fqfqf 其中 q10，q 20，且 q1+q2=1，则称 f(x)是上凸函数 三、计算题 13.设集合 M1,2,3,4,5,6，M 上的置换 541623,53646 (1) 将表成不相交的轮换或对换的乘积； (2) 求 解 (1) (1 4)(2 6 5) (2) = = 121 21362 14. 设 x，y ，z 为非负实数，且满足 9x2+12y2+5z2=9 求 f(x,y,z)=3x+6y+5z 的极大值 解 利用柯西不等式 3x+6y+5z3x×1+ 521z )4)(59(2y 8 所求极大值是 81 15. (a+b+c+d+e+f)5 展开合并同类项后共有多少项，并指出项 a2b2c 的系数 解 从 6 个元素可重复取 5 个元素，方法数为 21346791051C a2b2c 的系数为 ! 16. 某人从楼下到楼上要走 11 阶楼梯，每步可走一阶或二阶，问有多少种不同走法 解 第一步有两种情况： (1) 走一阶 阶 所 需 方 法 数表 示 走 完， 用） 走 二 阶（ ） 走 一 阶（ nf)(21 则 f(n)=f(n1)+f(n2) f(11)=f(10)+f(9) 最后，得 f(11)=144 四、证明题 17. 设 R 是实数集，对 R 中的任何两个元素 a 和 b，如规定baba 其中，×是普通实数的加、减、乘法运算 证明运算满足结合律 证明 a,b,cR， c)()( ba)( c )(bc ()(a 所以，运算满足结合律 18. 如果整环 R 是因式分解惟一环，则 R 中不可约元素也是素元素 证明 设 a 是 R 中不可约元素， 若 ab×c，则因为 a 是不可约元素， 所以 ， 1),(c1),( 若 ，则(a,bc) 1，这与 ab×c 矛盾 ),(c 所以，或(a,b)a，或( a,c)a， 所以，ab 或 ac，故 a 为素元素 张进军：老师，同学们再见今天辅导就到这里，老师，同学们再见。