拉普拉斯定理与行列式的乘法规则.ppt

3.7 拉普拉斯定理与行列式的乘法规则,利用行列式的按行（列）展开式可以把n阶行列式化为n-1阶行列式来处理，这在简化计算以及理论证明中都有很好的应用.有时我们还可以根据行列式的构造把一个n阶行列式一次性地降为一个n-k（1kn)阶行列式来处理，这时就要用到拉普拉斯,（Laplace）展开定理.,3.7.1 k 阶子式及其余子式、代数余子式,定义,在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列,按原来的相对次序构成的k 阶行列式 S称为行列,( )， 位于这些行和列的交叉点上的 个元素,式 D 的一个 k 阶子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，,式 M称为 S的余子式;,余下的元素按照原来的次序构成的 阶行列,若 k 级子式 S 在 D 中所在的行和列的序数分别是,那么在 S 的余子式M前面,余子式，记为,例如 ， 行列式,3.7.2 拉普拉斯(Laplace)定理,由这 k 行元素所构成的一切k级子式与它们的,在行列式 D 中任意取 k ( )行，,代数余子式的乘积之和等于 D,设在D 中取定 k 行，由这 k 行得到的 k 级子式,则 .,，它们对应的代数余子式分别为,为,例3.13 把行列式,按第1, 2两行展开.,解 由第1,2两行可以得到 =6个2阶子式:,的代数余子式,于是,例3.15,3.7.3 行列式的乘法规则,设n 阶行列式,其中,则,证明,作2n阶行列式,由拉普拉斯定理，,另一方面，对D作以下的恒等变形：,可得,这里,因此，,所以,其中,