第1章离散时间信号与系统的时域分析.ppt

第1章离散时间信号与系统的时域分析,1.1 离散时间信号序列 1.2序列的卷积和 1.3线性移不变系统 1.4线性常系数差分方程 1.5连续信号的抽样 1.6离散线性相关,本章首先介绍了离散时间信号的基本概念、常用序列和基本运算；其次介绍了序列的卷积和及其求解方法；然后着重讨论了线性移不变系统的特性和差分方程的时域解法；最后介绍了相关函数的基本概念，讨论了相关函数和线性卷积的关系。,内容提要,1.1离散时间信号序列,时间为离散变量的信号称为离散时间信号，它只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列，常用 表示。 许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体x(n)。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。这里 既指序列的第 个数，又指整个序列。,图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。,1.单位抽样序列 (单位样值),1.1.1常用序列,任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和,即,2.单位阶跃序列,3.矩形序列,4.正弦型序列,其中， 为数字频率。,数字角频率,模拟角频率,抽样间隔,频率,5.实指数序列,为实数，当,6.复指数序列,7.周期序列,如果存在一个最小的正整数N，满足 则序列 为周期性序列，N为周期。,下图为周期序列示意图,讨论一般正弦序列的周期性,讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔Ts和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？ 设连续正弦信号： 抽样序列：,当 为整数或有理数时，x(n)为周期序列。 令： ，N，k为互为素数的正整数 即： ，N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期,例：,1.1.2 序列的基本运算,1.移位,例,2.反褶(反转),若有序列 ，用 置换 中的自变量 ，定义 为对 的反褶信号，此时 的波形相当于将 的波形以 为轴翻转得到。,例,3 序列的加减,两序列的加、减指同序号 的序列值逐项对应相加、减而构成一个新的序列，表示为,，,5.差分,序列 的一阶前向差分 定义为,一阶后向差分定义为,前向差分和后向差分运算可相互转换，即,6. 累加,设某一序列为 ，则 的累加序列定义为,例 已知序列 ，则,7 时间尺度变换,序列的尺度变换类似于连续时间信号的时域伸缩变换，包括抽取和插值两类。,插值：令 ，L为正整数，称 是由 作L倍的插值所产生的。,分解过程如下：,例 一序列的抽取和插值的过程。,作抽取运算时，每2点（每隔1点）取1点；作插值运算时，每2点之间插入1点，插入值是0。,1.2 序列的卷积和,1.2.1 卷积和的定义及计算,设序列 、 它们的卷积和 定义为 卷积和计算分四步： 反褶(反转)、移位、相乘、相加。,计算步骤,3）移位 把 移位，变为 。 ，把 向右移位； ，把 向左移位。,4）累加 计算累加,图解法,例 已知 ， 求,列表法,例：已知序列x(n)和h(n)如下： 求其卷积。,1.2.2 卷积和的性质,1）交换律,2）结合律,3）分配律,4） 是离散卷积的单位元,5） 是单位延迟器,一般地有,6） 是数字积分器,7） 是离散卷积的单位元,结论,1.3 线性移不变系统,系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即,若离散时间系统满足均匀性与叠加性，则称此系统为离散时间线性系统。,1.3.1 线性系统,例 证明 所代表的系统不是线性系统。,证明 因为,所以,但是,因而,所以此系统不是线性系统。,1.3.2 移不变系统,定义：若系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则称该系统为移不变系统。,表明输入移动任意位，其输出也移动相同位数，而其幅值保持不变。,例 判断 所代表的系统是否是移不变系统。,证明,因为,所以此系统是移不变系统。,1.3.3 单位抽样响应与卷积和,设系统输入序列为 ，输出序列为 。任一序列 可写成 的移位加权和，即,则系统输出为,结论：,一般用h(n)代表系统，示意图如下,1.3.4 因果系统,定义：,线性移不变系统是因果系统的充分且必要条件是：,证明： 充分性 若n0,h(n)=0，则利用卷积公式，对于任何输入x(n)，其输出为,对某个时刻n0，其输出y(n0)为,上式表明n0时刻的输出y(n0)只与m n0的所有x(m)有关，而与mn0的x(m)无关。 因此，该系统为因果性系统。,必要性 ：采用反证法。假定系统为因果性 系统，但在n0时h(n)0，按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时刻的其输出y(n0)为,这样，由于n n0的x (m) 有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有n0时h(n)=0。 证毕。,1.3.5 稳定系统,稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。,定义：,例 设线性时不变系统的单位抽样响应 ，式中 是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,1.4 线性常系数差分方程,连续时间系统用微分方程描述，而离散时间系统则用差分方程描述。一个离散时间系统无论是由连续时间系统离散化得到的，或者本身就是离散的，其数学模型都可以用差分方程来描述。本节主要讨论线性移不变离散时间系统差分方程的描述形式和求解方法。,1.4.1线性常系数差分方程的描述,一个 阶线性常系数差分方程一般形式为,或者,式中， 、 分别指系统的输入和输出。 系数ai(i=1,N) ， bi (i=1,M)均为常数 阶数指方程中y(n-i)的最高阶与最低阶之差 线性指方程中仅有y(n-i)的一次幂，不含它们的相乘项。,例1.4.1 图1.4.1所示电路为一阶 低通模拟滤波器。 为输入信号、 为输出信号。试由描述该电路的微分方程求出相应的差分方程。,解 很容易得到描述该系统的微分方程为,若对 进行抽样，且抽样间隔 足够小，则有,结合 得,取 为单位时间的情况下得到所求差分方程为,例1.4.2 求累加器 的差分方程表示式。,解 依据已知 列出时刻的输出为,则得到所求差分方程为,例1.4.3 滑动平均滤波器可以表示成的形式。 例如，模板为3个点的平滑滤波器可以写成。,1.4.2 线性常系数差分方程的求解,求解差分方程的方法有： 1、序列域（离散时间域）法 时域经典解法； 迭代法； 卷积求和法 2、变换域法（如 变换求解法）。,当差分方程方程阶数较低的时候，用迭代法求解差分方程比较简单。,解 依题意，输入序列 ，则,1、 时，递推过程如下：,综合得,2、 时，递推过程如下：,综合（1）、（2）得,一个常系数线性差分方程是否因果系统，由边界条件（初始）所决定。 即初始条件具有y(n)=0(n0方向递推，其解一般为因果的，反之为非因果。,注：,1.5 连续时间信号的抽样,抽样器可以等效成一个电子开关，如图所示。,若 是冲激函数序列 ，则为理想抽样； 若 是宽度为 的矩形脉冲序列，则为实际抽样。,1.5.1 理想抽样,（1）抽样过程及抽样信号频谱,周期冲激序列,理想抽样信号 的傅立叶变换,理想抽样信号频谱,由图可见， 是由 以 为间隔周期重复所构成的，即周期延拓。,可以采用一个截止频率为 ( ) 的理想低通滤波器得到不失真的原信号频谱，从而将原信号从抽样信号中恢复出来。,分析,结论,为了避免产生混叠现象，能从抽样信号无失真地恢复出原信号，抽样频率必须大于等于信号频谱最高频率的两倍，即 这就是奈奎斯特抽样定理。,（2）由抽样信号恢复连续信号,理想低通滤波器频率响应函数为 式中 为理想低通滤波器截止频率，经常选取,称为内插函数,滤波器恢复出的信号在各抽样时刻点上的值等于原信号的值，而各抽样时刻之间的值则由各加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图1.5.6所示。因此，抽样时只要满足抽样定理，则原连续时间信号就可以用其抽样信号来表示，而不会丢掉任何信息。但是，由上面的讨论过程可以看出内插公式只限于带限信号。,1.5.2 实际抽样,分析抽样信号的幅度谱可以看出：抽样信号的频率是连续时间信号频谱的周期延拓。,与理想抽样不同的是，其频率分量幅度的包洛线以 的规律变化，如图1.5.7所示。同样，抽样过程若满足奈奎斯特抽样定理，则不会产生频谱混叠现象。因此，抽样时只要满足奈奎斯特抽样定理，就可以从抽样信号中无失真地恢复出原连续信号。,1.5.3 带通信号的抽样,带通信号抽样定理,的周期是 ，如图1.5.5(b)所示。取图中标识 的一个周期进行分析。,若要频谱不发生混叠，须有,整理得,1.6 离散线性相关,1.6.1 线性相关的定义,同理可得 和 的互相关函数为,它描述了同一个信号 在 时刻和 时刻的相似程度。,若 、 为复数信号，则,1.6.2 线性相关与线性卷积的关系,和 的线性卷积,互相关函数,现将上式中的 和 相对换，得,比较可得线性相关和线性卷积的时域关系为,同理，对自相关函数，有,尽管相关和卷积在计算式上有相似之处，但二者所表示的物理意义是截然不同的。线性卷积表示了线性移不变系统输入、输出和单位抽样响应之间的一个基本关系，而线性相关只是反映了两个信号之间的相关性，与系统无关。,