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目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其 基本性质。 重点与难点：可数集合的性质，连续势的 性质。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,一可数集合 定义 凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集，凡与R1对等的集称为具有连续势。 可数集性质： 定理2 任何无穷集都包含一个可数子集。,证明：假设 是一个无穷集，任取 ，因 无穷，故 亦无穷，因此又可以从 中任取一个元素 ，显然 ，假如已从 中取出 个元素 ，则由 是无穷集知 仍是无穷集，从而可从中取出一个元素 ，由归纳法知可从 中取出互不相同得元素,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,排成一无穷序列： ，显然 是 的可数子列。证毕。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,定理3 可数集合的无穷子集仍是可数的。 证明：假设 是可数集， 是 的无穷子集，由定理2， 含可数子集 ，于是 ，但 ，故 ，从而 也是可数的。证毕。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,定理4 设 是可数集， 是有限集或可数 集，则 可数。 证明：由于 有限或可数，故 有限或可数，所以 可以写成 ，或 ，又因 可数，从而 可以写成 ，将 按如下方法排列：当 时，将 排成,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,当 将 排成 无论哪种情形， 显然都是可数的。 证毕。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,定理5 有限个或可数个有限集或可数集的 并仍是有限集或可数集。 证明：不妨假设 是一列有限或可数集（有限个集合情形证明相仿）。将 中元素排列成 ，（如果 是有限集，则排列成 ）。于是 表示 中的,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,第 个元素，记 ，则对任意自然数 ，满足 的数组 必为有限个，首先按 从小到大的顺序进行编号，即将 编为 对每个 ，将 重新写成,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,即按第一个下标 从小到大的顺序排列，应该注意的是 中可能含一些重复的元素，暂且将重复元素留着，最后将 排成 在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的是有限集或可数集。证毕。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,如果说 表示正整数， 表示一个有限集与可数集之并的势， 表示 个可数集之并的势， 表示可数个可数集之并的势，则定理5蕴含了下列各式： （1） （2） （3） （4）,定理6 。 证明：记 ，显然 是可数集，故 可数；同理每个 也可数，从而 可数，于是,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,是可数的，即 。证毕。 定理6告诉我们，尽管有理数全体在数 轴上处处稠密，然而，它和自然数集却是对等的，这与我们的直觉是多么不同！,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,问题1：可数集合的性质与有限集合的性 质有何异同？其本质差别是什么？,前面已经看到，可数集是无穷集中势最小者，下面的命题指出，任一无穷集并上一个可数集不影响它的势。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,命题1 假设 是无穷集， 是可数集 或有限集，则 。 证明：由 可数或有限知 也可数或有限，且 ，故不妨假设 与 不相交。由定理2知 含可数子集，不妨记为 ，则 仍可数，于是 与,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,对等，又 与自身对等，不妨设 是 与 的1-1对应， 是 到自身的恒等映射，则令 ，易知 是,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,的1-1对应，从而 。证毕。 二无限集的特征 问题2: 有限集与无限集的本质差别是否也 体现在一般的无限集？这种差别是 否正是无限集的特征？,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,命题2 是无穷集当且仅当它可以与其 真子集对等。 证明：先证必要性，若 可数，则结论显然，故不妨设 不是可数集，由定理2， 含可数子集 ，由于 非可数，所以 仍是无穷集，由命题1立知,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,即 与其真子集 对等。 为证充分性，我们要证，若 与其真子集对等， 必是无穷集。假若不然， 是有限集，不妨设为 ， 与其真子集对等，记与 对等的真子集为 ， 是 与 之间的1-1对应。则 ，注意,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,且因 是一一的，故对不同的 ， 。故 是 中 个不同的 元素，于是 。然而 。这说 明 。这个矛盾意味着 必是 无穷集。证毕。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,在例2中，我们已经看到 与 是不对等的，因此 是一个不可数集合，我们也知道 是最小的无穷集，所以 。有一个很有意思的问题，存不存在这样的集合 ，其势位于 与 之间？即 。Cantor首先考虑了这个问题，但他未能解决。他猜测，没有这个中,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,间势，这就是著名的连续统假设，严格说 来，至今没有人能证明是否存在这种势，但大家普遍承认Cantor的猜测，并将此作为集合论的一条公理。人们已经证明，这条公理与集合论的其它公理是相互独立的，换言之，无论是承认还是否认这条公理，都不会与其它公理发生冲突。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,三具有连续势的集合 例3 只要ab则 。 令 则 是(a,b)到 的一个1-1对应，故 。 显然当 的势均为C。同样 的势也为C。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,定理7 如果 都是势小于或等 于 的集合，且其中至少有一个的 势是 ，则 的势是 。 证明：不失一般性，假设 ，令 ， 则,因此一定存在 的子集 ，使 ， 设 是 与 之间的一个11对应关系，定义 ，当 。易见 便是 和 之间的一个11对应关系，因而 。另一方面,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,， 由Bernstein定理知 的势为 。 证毕。 定理7实际是说，可数个势不超过 的集合之并，其势也不超过 ，用公式表示就是： 。,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,以上看到的都是直线上的点集，平面内点集的势又有多大呢？我们先来看整个平面 的势。有一点是显然的，即 。问题在于 是大于 还是等于 。我们可以把 看作 ，其中的元素是数组 ，由于 与 有相同的势，故 与 有相同的势，因而只需考察 的势。如果将 与 按适当顺序排成一个新的数，便,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,有可能将 与 的一个子集对等。不妨设 。显然我们可以按下述方式来排列 ，即令 。 到 的这种对应关系是不是一对一的呢？如果 确定，对应的,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,显然也是唯一确定的，但是，用小数表示 一个数，其表示法不一定唯一，比如1也可以表示成 ，因此，这里要作一个规定，即不允许出现只有有限个数字非零的情况，在这种规定下，表示法就唯一了。然后作对应关系,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,则是 到 的某个子集的11对应，故 ，进而 ，这说明 。类似方法可证明下面的,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,第3讲 势的定义 -可数集合与连续势,定理8 。此处 指可数个 的笛卡尔积。,