2018_2019高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版必修4201901155.doc

2.3.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案能依据是数乘向量和平行四边形法则思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二向量的正交分解思考一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？答案能，互相垂直的两向量可以作为一组基底梳理正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解1平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底(×)提示只有不共线的两个向量才可以作为基底2零向量可以作为基向量(×)提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量3平面向量基本定理中基底的选取是唯一的(×)提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底类型一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_(填序号)e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟踪训练1e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是_e1e2，e13e2；3e12e2，4e26e1；e12e2，e22e1；e2，e1e2；2e1e2，e1e2.答案解析由题意，知e1，e2不共线，易知中，4e26e12(3e12e2)，即3e12e2与4e26e1共线，不能作基底中，2e1e22，2e1e2与e1e2共线，不能作基底类型二用基底表示向量例2如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.解取CF的中点G，连结EG.E，G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，ab.又，bab.反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解跟踪训练2如图所示，在AOB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于点P，用基底a，b表示.解，.设m，n，则mm()am(1m)amb，nn()bn(1n)bna.a，b不共线，即ab.类型三平面向量基本定理的应用例3在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，求的值解方法一(基向量法)由，得·()·()，则0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以.方法二(待定系数法)如图所示，连结MN并延长交AB的延长线于点T，由已知易得ABAT，所以，即.因为T，M，N三点共线，所以1，所以.反思与感悟当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得跟踪训练3已知向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，试求，的值解将ae1e2与b3e12e2代入cab，得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因为c2e13e2，且向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组解得1已知a，b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则_.(用a，b表示)答案ab2已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.答案1512解析向量e1，e2不共线，解得3如图所示，在正方形ABCD中，设a，b，c，则当以a，b为基底时，可表示为_，当以a，c为基底时，可表示为_答案ab2ac解析由平行四边形法则可知，ab，以a，c为基底时将平移，使点B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到4设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析()，又与不共线，1，2，12.1向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据2对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底3准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决一、填空题1已知e1，e2是两个不共线向量，ak2e1e2与b2e13e2共线，则实数k_.答案2或2设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.答案解析由方程组解得所以e1e2ab.3设点O是ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是_与；与；与；与.答案解析寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线，而，故可作为基底4已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数的取值范围为_答案(，4)(4，)解析若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由akb，即得4.5设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数y的值为_答案4解析因为3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，所以(3x4y7)e1(10y2x)e20，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得6已知非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则x，y满足的关系是_答案xy207若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为_答案解析4rs，()rs，r，s.3rs.8设e1与e2是两个不共线向量，a3e14e2，b2e15e2，若实数，满足ab5e1e2，则，的值分别为_答案1，1解析由题设ab(3e14e2)(2e15e2)(32)e1(45)e2.又ab5e1e2，由平面向量基本定理，知解得1，1.9在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则_.答案ab解析如图，设，则ba，故ab.()ab，由平面向量基本定理，得ab.10.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.答案解析设a，b，则ab，ab，又ab，()，即，.二、解答题11判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd；(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1e2，e1e2表示出来解(1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立(2)正确，假设e1e2与e1e2共线，则存在实数，使e1e2(e1e2)，即(1)e1(1)e2.因为1与1不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾所以e1e2与e1e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1e2，e1e2表示出来12.如图，平面内有三个向量，.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且|1，|2，若(，R)，求的值解如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则.在RtOCD中，|2，COD30°，OCD90°，|4，|2，故4，2，即4，2，6.13在梯形ABCD中，M，N分别是DA，BC的中点，且k.设e1，e2，以e1，e2为基底表示向量，.解方法一如图所示，e2，且k，kke2.又0，e1(k1)e2.又0，且，e2.方法二如图所示，过C作CEDA，交AB于点E，交MN于点F.同方法一可得ke2.则()e1(k1)e2，()e2.方法三如图所示，连结MB，MC.同方法一可得ke2，e1(k1)e2.由()，得()()e2.三、探究与拓展14A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若(R，R)，则的取值范围是_答案(1，)解析设k(0<k<1)，则k(k1)k.D是OC与AB的交点，A，D，B三点共线，共线设m，又，(k1)kmm.，不共线，k1k，即k()1，>1.15设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值(1)证明若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)解设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)解由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.12