浙江专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数考点规范练11函数模型及其应用20190118424.docx

考点规范练11函数模型及其应用基础巩固组1.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确的是()买小包装实惠买大包装实惠卖3小包比卖1大包盈利多卖1大包比卖3小包盈利多A.B.C.D.答案D2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是()A.118元B.105元C.106元D.108元答案D解析设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故选D.3.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得的一组实验数据如下表所示:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=12xC.y=log2xD.y=12(x2-1)答案D解析直线是均匀分布的,故选项A不符合要求;指数函数y=12x是单调递减的,也不符合要求;对数函数y=log2x的增长是缓慢的,也不符合要求;将表中数据代入选项D中的函数,基本符合要求.4.(2018河南豫南豫北高三第二次联考)古代数学名著九章算术中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚5尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问:何日相逢?题意是:由垛厚五尺(旧制长度单位,1尺=10寸)的墙壁,大小两只老鼠同时从墙的两面,沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进1尺,以后每天的速度为前一天的2倍;小鼠第一天也打进1尺,以后每天的速度是前一天的一半.它们多久可以相遇?()A.3617天B.3717天C.3817天D.3917天答案A解析由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+12尺,因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5尺.第三天,大鼠打4尺,小鼠打14尺,因此第三天相遇.设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0.5-y尺,则y4=0.5-y14,解得y=817,因为第三天大鼠速度是4尺,故第三天进行了8174=217天,所以共进行2+217=3617天.故选A.5.(2018衡水金卷)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)=1260x+1,0<x20,90-35·x,20<x180,则当该服装厂所获效益最大时,x为()A.20B.60C.80D.40答案C解析设该服装厂所获效益为f(x)(单位:元),则f(x)=100xq(x)=126000xx+1,0<x20,100x(90-35·x),20<x180.当0<x20时,f(x)=126000xx+1=126000-126000x+1,f(x)在区间(0,20上单调递增,所以当x=20时,f(x)有最大值120000.当20<x180时,f(x)=9000x-3005·xx,则f'(x)=9000-4505·x,令f'(x)=0,得x=80.当20<x<80时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当80x180时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=80时,f(x)有最大值240000.故选C.6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.答案20解析设DE=x,MN=y,由三角形相似得:x40=ADAB=ANAM=40-y40,即x40=40-y40,即x+y=40,由基本不等式可知x+y=402xy,S=x·y400,当x=y=20时取等号,所以当边长x为20m时面积最大.7.某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为. 答案10解析设该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护费用为2+4+2x=x(x+1),所以x年的平均费用为y=100+0.5x+x(x+1)x=x+100x+1.5,由基本不等式得y=x+100x+1.52x·100x+1.5=21.5,当且仅当x=100x,即x=10时取等号.故为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为10.8.用一根长为12 m的铝合金条做一个“目”字形窗户的框架(不计损耗),要使这个窗户通过的阳光最充足,则框架的长与宽分别为. 答案3 m,1.5 m解析设窗户的长与宽分别为xm,ym,根据题意得2x+4y=12,窗户的面积S=xy=(6-2y)·y=-2y2+6y=-2y-322+92(0<y<3),故当y=1.5时,S取得最大值,此时x=3.能力提升组9.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:0点到3点只进水不出水;3点到4点不进水只出水;4点到6点不进水不出水,则一定正确的是()A.B.C.D.答案A解析由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的12,所以0点到3点不出水,3点到4点也可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是.10.(2018北京门头沟一模)某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分技术商务报价100%50%10%40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵活,报价表的评分方法是:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基础上扣0.8分.在某次招标中,若基准价为1 000(万元).甲、乙两公司综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司报价为1 100(万元),乙公司的报价为800(万元).则甲,乙公司的综合得分分别是()A.73,75.4B.73,80C.74.6,76D.74.6,75.4答案A解析甲公司报价为1100(万元),比基准价1000(万元)多100(万元),超10%,所以得分为68-0.8×10=60,因此综合得分为80×50%+90×10%+60×40%=73;乙公司报价为800(万元),比基准价1000(万元)少200(万元),低20%,所以得分为80-(20-15)×0.8=76,因此综合得分为70×50%+100×10%+76×40%=75.4.故选A.11.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟答案B解析根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式,联立方程组得0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,消去c化简得7a+b=0.1,9a+b=-0.3,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.所以p=-0.2t2+1.5t-2=-15t2-152t+22516+4516-2=-15t-1542+1316,所以当t=154=3.75时,p取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟.12.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12),4 m,不考虑树的粗细.现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是()答案C解析设CD=xm,则AD=(16-x)m,由题意可知16-x>a,x>4,解得4<x<16-a,矩形花圃的面积S=x(16-x),其最大值f(a)=64,0<a<8,-a2+16a,8a<12,故其图象为C.13.将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有a4 L,则m的值为()A.5B.8C.9D.10答案A解析5min后甲桶和乙桶的水量相等,函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln12,f(t)=a·12t5,因此,当kmin后甲桶中的水只有a4L时,f(k)=a·12k5=14a,即12k5=14,k=10,由题可知m=k-5=5.14.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-120Q2,则总利润L(Q)的最大值是万元. 答案2 500解析L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500.当Q=300时,L(Q)的最大值为2500万元.15.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时. 答案24解析由已知条件,得192=eb,又48=e22k+b=eb·(e11k)2,e11k=4819212=1412=12,设该食品在33的保鲜时间是t小时,则t=e33k+b=192e33k=192(e11k)3=192×123=24.16.(2018上海杨浦高三数学一模)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数是,场地最大面积是. 答案y=x(l-3x),x0,l3l212解析设平行于墙的边长为a,则篱笆总长l=3x+a,即a=l-3x,场地面积y=x(l-3x),x0,l3.y=x(l-3x)=-3x2+lx=-3x-l62+l212,x0,l3,当且仅当x=l6时,ymax=l212.综上,当场地垂直于墙的边长x为l6时,最大面积为l212.17.将51名学生分成A,B两组参加城市绿化活动,其中A组布置400盆盆景,B组种植300棵树苗.根据历年统计,每名学生每小时能够布置6盆盆景或者种植3棵树苗.设布置盆景的学生有x人,布置完盆景所需要的时间为g(x),其余学生种植树苗所需要的时间为h(x)(单位:小时,可不为整数).(1)写出g(x),h(x)的解析式;(2)比较g(x),h(x)的大小,并写出这51名学生完成总任务的时间f(x)的解析式;(3)应怎样分配学生,才能使得完成总任务的时间最少?解(1)由题意布置盆景的学生有x人,种植树苗的学生有(51-x)人,所以g(x)=4006x=2003x(0<x<51,xN*).h(x)=300(51-x)·3=10051-x(0<x<51,xN*).(2)g(x)-h(x)=2003x-10051-x=100(102-5x)3x(51-x),因为0<x<51,所以3x(51-x)>0.当0<x20时,102-5x>0,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x);当21x<51时,102-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x).所以f(x)=2003x,0<x20,xN*,10051-x,21x<51,xN*.(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值,当0<x20时,f(x)单调递减,则f(x)f(20)=103.故f(x)的最小值为f(20),此时51-x=31人;当21x<51时,f(x)单调递增,则f(x)f(21)=103,故f(x)的最小值为f(21),此时51-x=30人.所以布置盆景和种植树苗的学生分别有20,31人或21,30人.18.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k(1k4,且kR)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=k·f(x),其中f(x)=169-x-1,0x5,11-245x2,5<x16.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用.(1)若投放k个单位的洗衣液,3分钟时水中洗衣液的浓度为4(克/升),求k的值;(2)若投放4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?解(1)由题意知,k169-3-1=4,解得k=125.(2)当k=4,所以y=4(169-x-1),0x5,4(11-245x2),5<x16.当0x5时,由4169-x-14,解得x1,所以1x5.当5<x<16时,由411-245x24,解得-15x15,所以5<x15.综上,1x15.故若投放4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达14分钟.8