蒙特卡罗方法在积分计算中的应用.ppt

第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用,蒙特卡罗方法求积分 重要抽样 俄国轮盘赌和分裂 半解析方法 系统抽样 分层抽样,第七章 蒙特卡罗方法在积分计算中的应用,计算多重积分是蒙特卡罗方法的重要应用领域之一。本章着重介绍计算定积分的蒙特卡罗方法的各种基本技巧，而这些技巧在粒子输运问题中也是适用的。,蒙特卡罗方法求积分,蒙特卡罗方法求积分的一般规则如下：任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值，因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它。,设欲求积分 其中，PP(x1，x2，xs) 表示 s 维空间的点，Vs表示积分区域。取Vs上任一联合概率密度函数 f (P)，令 则 即是随机变量 g(P) 的数学期望，P的分布密度函数为 f (P) 。 现从 f (P) 中抽取随机向量 P 的 N 个样本：Pi，i1，2，N， 则 就是的近似估计。,重要抽样,偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令 则有 现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i1，2，N， 则 就是的又一个无偏估计。,重要抽样和零方差技巧 要使 最小，就是使泛函If1 极小。 利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为,特别地，当 g(P)0 时，有 这时 即 g1的方差为零。实际上，这时有 不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。,俄国轮盘赌和分裂,分裂 设整数 n1，令 则 于是计算的问题，可化为计算 n 个i 的和来得到，而每个 gi(P) 为原来的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技巧。,俄国轮盘赌 令 0 q1， 则 于是变为一个两点分布的随机变量的期望值， 的特性为： 这样就可以通过模拟这个概率模型来得到，这就是俄国轮盘赌。,重要区域和不重要区域 我们往往称对积分贡献大的积分区域为重要区域，或感兴趣的区域；称对积分贡献小的区域为不重要区域，或不感兴趣的区域。 考虑二重积分 令R是V2上 x 的积分区域，表为 RR1+R2，其中R1是重要区域，R2是不重要区域，两者互不相交。又命Q为V2上相应于 y 的积分区域。则,通常蒙特卡罗方法，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用 作为的一个无偏估计。 现在，改变抽样方案如下： 当xR1时，定义一个整数n(xi)1，对一个xi，抽取 n(xi)个yij，j1，2，n(xi)。以平均值 代替上述估计式中的 g(yi, xi) 。,当 xR2时，定义一个函数q(xi)，0 q(xi) 1， 以抽样值 代替上述估计式中的 g(yi, xi) 。这里是随机数。 显然，这种抽样估计技巧，就是对 xR1时，利用分裂技巧，而对 xR2时，利用俄国轮盘赌，而使估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。,半解析（数值）方法,考虑二重积分 令 则x为的无偏估计。,x 的方差为 而由 f (x,y)抽样 (x,y)，用 g (x,y)作为的估计，其方差为,系统抽样,我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是： 从 fl(x) 中抽取 xi， 再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi， 现在改变 xi 的抽样方法如下：,yi 的抽样方法不变。 其方差为 与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约,分层抽样,考虑积分 在（0，1）间插入J1个点 00 1 J-1 J1 令,则有 现在，用蒙特卡罗方法计算j ，对每个j 利用 fj(x)中的nj 个样本xij ，那么有,