11讲对数与对数函数.ppt

新课标高中一轮对数,第二单元 函 数,第11讲,对数与对数函数,理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数.,1.log2sin +log2cos 的值为( ),D,A.-4 B.4 C.2 D.-2,2.函数f(x)=logax(a0,a1),若f(x1)-f(x2)=1,则f(x12)-f(x22)等于( ),A,A.2 B.1 C.12 D.loga2,由f(x)=logax知f(x12)-f(x22)=2f(x1)-f(x2)=2.,3.函数y=log (x2-2x)的定义域是 ,单调递减区间 是 .,(2,+),(-,0)(2,+),4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a的值是 .,由已知得,a0+loga1+a1+loga2=a loga2=-1 a= .,5.已知f(x)=|log3x|，则下列不等式成立的是( ),C,A.f( )f(2) B.f( )f(3) C.f( )f( ) D.f(2)f(3),作函数f(x)=|log3x|的图象，可知f(x)在（0，1）上单调递减，选C.,1.对数 (1)一般的，如果ax=N(a0且a)，那么数x叫做 ，记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 . (2)以10为底的对数叫做 ,记作 . (3)以e为底的对数叫做 ,记作 .,以a为底N的对数,x=logaN,底数,真数,常用对数,lgN,自然对数,lnN,(4)负数和零没有对数;loga1= ,logaa= . 2.对数的运算性质 (1)如果a0且a,M0,N0,那么 loga(M·N)= ; loga = ; logaMn= .,0,1,logaM+logaN,logaM-logaN,nlogaM,logab= (a0且a,c0 且c,b0); alogaN=N(a0且a)； loganbm= logab(a0且a,m、nN*). 3.对数函数 一般的,我们把函数 (a0且a)叫做对数函数,其中x是自变量，函数的定义域为 .,y=logax,(0,+),(2)对数的换底公式及恒等式,4.对数函数的图象与性质,y0,增函数,减函数,y0,y0,y0,5.反函数 指数函数y=ax(a0且a)与对数函数y=logax(a0且a)互为 ,它们的图象关于直线 对称，指数函数y=ax(a0且a)的定义域为x|xR，值域为y|y0,对数函数y=logax(a0且a)的定义域为x|x0，值域为y|yR.,反函数,y=x,题型一 指数、对数函数的运算问题,例1,指数、对数函数的运算问题 ( )x (x4) f(x+1) (x4),则f(log23)= ; (2)设3a=4b=36,则 + = .,(1)设函数f(x)=,1,（1）因为log232， 所以f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)= f(3+log23)=( )3+log23=( )3·( )log23= × = . （2）由3a=4b=36得a=log336,b=log436,再根据换底公式得 a=log336= ,b=log436= . 所以 + =2log363+log364=log36(32×4)=1.,已知函数f(x)=lg (kR且k0)，若函数f(x)在10,+)上单调递增，求k的取值范围.,题型二 对数函数的性质问题,例2,这是一道含参数的对数结构的复合函数问题，根据函数f(x)的增减性，分析出真数的范围，转化为对数函数的大小比较问题.,因为函数f(x)在10,+)上单调递增, 所以 0，即k . 又f(x)=lg =lg(k+ ), 对任意的x1、x2,当10x1 ,所以k1. 故k的取值范围为( ,1).,若函数f(x)=loga(x3-ax)(a0且a)在区间(- ,0)内单调递增，则a的取值范围是.,令u=x3-ax,u=3x2-a. 当a1时,f(x)在(- ,0)内单调递增,必须u0, 即3x2-a0在(- ,0)内恒成立， 即a1矛盾.,当03x2,x(- ,0)内恒成立,从而a , 且(- )3-a(- )0,得a , 综上，a的取值范围为a| a1.,复合函数在单调区间内首先应考虑有意义；复合函数y=logaf(x)的单调区间也是y=f(x)的单调区间.常以这两点作为突破口解此类问题.本题也可用导数求解.,题型三 指数、对数函数的综合问题,例3,(2010·山东期末）设f(x)=log 为奇函数，a为常数. （1）求a的值； （2）求证：f(x)在(1,+)内单调递增； （3）若对于3,4上的每一个x的值，不等式f(x)( )x+m恒成立，求实数m的取值范围.,(1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x) log =-log = 0 1-a2x2=1-x2 a±1. 经检验，a=-1（a=1舍去）. （2）（证法一）定义法. 任取x1x21，所以x1-1x2-10， 所以0log ,即f(x1)f(x2)，所以f(x)在（1，+)上单调递增.,（证法二）导数法. f(x)=( )·log e·( ) =log e· · =-log e· . 因为-log e0，又x1，所以 0， 所以f(x)0，即f(x)在(1,+)上单调递增.,（3）对于3,4上的每一个x的值，不等式f(x)( )x+m恒成立 f(x)-( )xm恒成立. 令g(x)=f(x)-( )x， 由（2）知，g(x)在3,4上是单调递增函数， 所以mg(3)=- ,即m的取值范围是(-,- ).,已知函数f(x)=loga (a0且a,b0). (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性; (3)讨论函数f(x)的单调性.,由真数大于0，求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断.,(1)令 0,解得函数f(x)的定义域为(-,-b)(b,+). (2)函数f(x)的定义域关于原点对称， f(-x)=loga =loga =-f(x), 故函数f(x)是奇函数. (3)令u(x)= =1+ , 则u(x)在(-,-b)和(b,+)上是减函数， 所以当01时,函数f(x)在(-,-b)和(b,+)上是减函数.,1.比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与比较. 2.把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型.,3.解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论.,(2009·全国卷) 设a=log3, b=log2 ,c=log3 ，则( ),A,A. abc B. acb C. bac D.bca,因为a=log3log33=1， b=log2 = log23 log22= ， c=log3 = log32bc，故选A.,(2009·陕西卷)已知函数f(x)=ln(ax+1)+ ，x0，其中a0. （1）若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； （2）求f(x)的单调区间； （3）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围.,（1）f (x)= = . 因为f(x)在x=1处取得极值,所以f (1)=0, 即a·12+a-2=0，解得a=1.,（2）f (x)= . 因为x0，a0，所以ax+10. 当a2时，在区间(0,+)上，f (x)0， 所以f(x)的单调增区间为(0,+). 当00，解得x ， 由f (x)0，解得x , 所以f(x)的单调减区间为(0, )，单调增区间为（ ,+).,（3）当a2时，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)=1; 当0a2时，由（2）知,f(x)在x= 处取得最小值f( )f(0)=1. 综上可知，若f(x)的最小值为1， 则a的取值范围是2,+).,本节完，谢谢聆听,