一本章节要点.ppt

一、本章要点,1定积分的定义与性质 2积分上限的函数及其导数 3微积分基本公式 4定积分的积分方法 5反常积分,1定积分的定义与性质,设 是区间 上的有界函数，若极限,存在，且与分法、取法无关，则称此极限为函数 在区,间 上的定积分，记为,主要积分性质：, 若 ， ，则, 积分中值定理 若 在 上连续，则,，使得,2积分上限的函数及其导数,设 在 上可积，对于 ，函数,称为 的积分上限的函数,定理1 若 在 上可积，则 在 上,连续,定理2 若 在 上连续，则 在 上,可导且导函数连续，其导数,更一般地，有,3微积分基本公式,设函数 在 上连续， 是 在区间,上的一个原函数，则,4定积分的积分方法,1)换元积分法,设函数 在 上连续，函数 的导函数,连续，且 ， ，其值域 ，则,2)分部积分法,常用的几个积分公式,(1) 若 在 上连续，则,(2) 若 在 上连续，则,(3) 若 在 上连续，且是周期为 的周期函,数，则,并注意到右边的积分与 无关,(4),三、例题选讲,例1 求极限 ,解 令 ，,再设 ，则,例2 求极限 ,解 原式为 型的极限，由洛必达法则，得,例3 设 为连续函数，令,讨论函数 在 处的连续性和可导性.,解 因 ，故,即 在 处连续,又,即 在 处可导，且 ,例4 设 在 上连续，且 证明,方程,在 内有且只有一个根,证 令 ，,则 在 上连续，且,因 连续，由 得 在区间上不变号，所以,，从而方程有解又,故 不变号，从而 单调，因此解是唯一的,证 令,例5 设 在 上连续，在 内可导，且,， 证明：,则 而,因 ，故当 时， 若令,则当 时， ，故当 时,从而 ，即有,解 先求驻点，因,例6 求函数 的极值点,令 ，得 ,在 处， 由 ；在 处， 由,；在 处， 由 ,因此 是极大值点， 是极小值点,证 本题即证,例7 设函数 在 上可导，且满足,证明：必存在点 ，使得,为此构造辅助函数 ,利用积分中值定理，得,其中 故,在区间 上使用罗尔定理，即得所需要的结论,两式相减，得,例8 设 在 上连续， ,证 因,证明：,所以,从而有,例9 设函数 在 上连续，单调增加，且,证明函数,在 是单调增加的(其中 ),证 显然当 时， 为连续函数，又,故 是 上的连续函数 ，有,因为 是单调增加的，故当 时 ，,即得 ，因此结论成立,的极小值点,证明： 有唯一的驻点，且该驻点是它,例10 设 在 上连续，且 ,证 由条件知函数 可导，且,令 得 ，故 有唯一驻点 ,又当 时 ，当 时 故,是 的极小值点,柯西-施瓦茨不等式,闵可夫斯基不等式,例11 设 在 上可积，证明,故判别式非正，即有,证 对于任意实数 ，有,即得关于 的二次不等式, 由柯西-施瓦茨不等式,不等式两边同时开方，即得到所需的不等式,例12 求下列定积分, ； ；, ；, ,解 , 由于积分区间对称，利用换元法得,因,所以,例13 求下列定积分,解 , ； ；, ,即得, 作换元 ，则,例14 求积分 ,解 作换元 ，则,例15 设 ，求 ,解,例16 求下列反常积分,(1) ; (2) ;,(3) ; (4) ,解 (1),(2) 作换元 ，则,(3),(4) 作换元 ，则,三、练 习,1求极限,(1) ;,(2) ；,(3) ,3求极限,(1) ； (2) ，,其中 为连续函数,求 的表达式,2设 ，,4设 ，其中 在,上连续，求 ,5设 在 上连续，且 ，证明方程,在 只有一根,6计算下列定积分,(1) ; (2) ;,(3) ; (4) ；,(5) ； (6),