高等代数上学习提纲第一章第四章节1.ppt
高等代数(上)学习提纲 (第一章第四章节1),任课老师:周毅,一基本概念,1预备知识 数域 (含两数且对四则运算封闭) 映射/变换及其运算 (单射、满射、双射、乘积映射、可逆映射、逆映射) 2矩阵及其相关概念 矩阵的初等变换与等价关系 矩阵的秩 矩阵的运算:初等变换 加、减法 数乘 乘法 方幂 转置 共轭 求逆 行列式 初等矩阵 一些特殊矩阵:对称阵 、反对称矩阵、 三角阵 、幂零阵 方阵的迹 分块矩阵 行列式及它的余子式与代数余子式,3向量空间 向量及其线性运算 (8条运算公理) 向量组的表示、等价与相关性 向量组的极大无关组与秩 4线性空间 线性空间及线性运算公理 线性空间的表示、等价、相关性、极大无关组及秩 线性空间的基与维数 线性空间中的元素在基下的坐标 5线性方程组理论 线性方程组 (齐次、非齐次、系数矩阵、增广矩阵) 齐次线性方程组的基础解系 非齐次线性方程组的特解,二基本性质, 预备知识 矩阵及其相关概念 向量空间 线性空间 线性方程组理论,预备知识,1 单射 : ,使得: 满射 : ,使得: 可逆 : , 使得: , 记 为 2代数学基本定理,矩阵及其相关概念,1矩阵秩的性质 矩阵的行/列秩在行/列初等变换下保持不变 矩阵的行/列秩在列/行初等变换下保持不变 即:初等变换不改变矩阵的秩 2矩阵运算的性质 交换律、结合律、分配律、不同运算次序的交换 3矩阵秩的相关性质 当 , 满秩时取等号 4 的性质 且,矩阵及其相关概念,5“左行右列”法则 6 满秩 为初等阵的乘积 均为满秩、可逆矩阵,使得: 可逆 满秩 为初等阵的乘积 ,使得: 或者 7初等矩阵均可逆且其逆矩阵仍为初等阵 8求逆运算与其它运算的关系 9分块矩阵的运算 10行列式的基本性质 11行列式按行(按列)展开法 12,向量空间,1向量组的相/无关性 相关 中至少有一个可以由其余 个表示 无关 , 相关 可以由 表示且表示唯一 相关 ; 相关 或者 部分相关 整体相关 部分分量无关 该向量组无关 个 维向量相关 相关 相关 或者 2 无关且可以由 表示 (由此导出向量组“秩”的概念),线性空间,1设 ,若 可以由 表示,则 , 若 ,则 2设 为 的基, (其中 ), 则 无关 无关 3设 为 的基, , 则 为 的基 可逆 4坐标变换公式 线性方程组解理论 1 (其中 为 阶矩阵) 当 时,有非零解 2 解的结构 当 时,方程组只有零解 当 时,方程组由 个解构成基础解系 3 解的结构,三基本方法,由初等变换法解线性方程组 由初等变换法求矩阵的秩、向量组的秩、判别相关性、求极大线性无关组 解线性方程组的逆矩阵法和解矩阵方程 行列式的计算 求线性空间元素在基下的坐标及过渡矩阵,