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专题三 曲线运动,一、曲线运动 1物体做曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动 2曲线运动的轨迹：当做曲线运动的物体所受合外力为恒力时，其运动为匀变速曲线运动，运动轨迹为抛物线，如平抛运动、斜抛运动、带电粒子在匀强电场中的曲线运动曲线运动的轨迹位于速度(轨迹上各点的切线)和合力的夹角之间，而合力的方向指向轨迹弯曲的内侧,二、抛体运动 1平抛运动 (1)平抛运动是匀变速曲线运动(其加速度为重力加速度)，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，运动轨迹为抛物线 (2)物体做平抛运动时，运动时间由竖直高度决定，水平位移由初速度和竖直高度共同决定 (3)物体做平抛运动时，在任意相等时间间隔t内速度的改变量v大小相等、方向相同(vvygt),(4)平抛运动的两个重要推论 做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图131所示由,2类平抛运动 以一定的初速度将物体抛出，如果物体受的合力恒定且与初速度方向垂直，则物体所做的运动为类平抛运动，如以初速度v0垂直电场方向射入匀强电场中的带电粒子的运动 类平抛运动的性质及解题方法与平抛运动类似，也是用运动的分解法,3处理圆周运动的动力学问题的步骤 (1)首先要明确研究对象； (2)对其受力分析，明确向心力的来源； (3)确定其运动轨道所在的平面、圆心的位置以及半径； (4)将牛顿第二定律应用于圆周运动，得到圆周运动中的动力学方程，有以下各种情况：F mr2mv 42mrf2.解题时应根据已知条件合理选择方程形式,1合力方向与速度方向的关系 物体做曲线运动时，所受合力的方向与速度方向一定不在 同一条直线上，这是判断物体是否做曲线运动的依据 2合力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间， 速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的“凹”侧,3速率变化情况判断 合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力 改变速度的方向，如图412所示的两个情景,(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体运动的速 率将增大； (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体运动的速 率将减小； (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体运动的速率不变,4两个直线运动的合运动性质的判断 (1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动 (2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是 匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时 为匀变速曲线运动 (3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速 直线运动,(4)两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动仍然是匀 变速运动若合初速度与合加速度在同一直线上，则合 运动为匀变速直线运动，如图413甲所示；不共线时 为匀变速曲线运动，如图413乙所示,图413,1判断物体是否做匀变速运动，关键是分析物体所受合力 是否为恒力；判断物体的运动轨迹是否为曲线，关键是 看合力和合初速度的方向是否共线 2公式vv0at、xv0t at2等是匀变速直线运动的规律，不适用于曲线运动只有分解成匀变速直线运动 后才可使用,1如图414所示，汽车在一段弯曲水平路面 上匀速行驶，关于它受的水平方向的作用力的 示意图如图415所示，其中可能正确的是( 图中F为牵引力，Ff为它行驶时所受阻力)( ),图414,图415,解析：汽车行驶时所受阻力Ff总与该时刻它的速度方向相反，故D错误做曲线运动的物体所受合力的方向不仅与其速度方向成一角度，而且总是指向曲线的凹侧，A、B两选项中F与Ff的合力方向都不满足这一条件，只有C选项中F与Ff的合力方向指向曲线的凹侧，且可能垂直于速度的方向，所以C正确,答案：C,1船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合 运动 2三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船 的实际速度) 3三种情景 (1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短 (d为河宽),(2)v2v1时过河路径最短：合速度不可能垂 直于河岸，无法垂直渡河确定方法如 下：如图416所示，以v2矢量末端为 圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从 v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航 程最短 由图可知：sin ，最短航程：x短,图416,解决渡河问题关键是分清三种速度船的划行方向与 船头指向一致(v1的方向)，是分速度方向，而船的航行方向 是实际运动的方向，也就是合速度的方向,2如图417 所示为某人游珠江，他以一 定的速度且面部始终垂直于 河岸向对岸游去设江中各 处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的 时间与水速的关系是 ( ),A水速大时，路程长，时间长 B水速大时，路程长，时间短 C水速大时，路程长，时间不变 D路程、时间与水速无关,解析：游泳者相对于岸的速度为他相对于水的速度和水流速度的合速度，水流速度越大，其合速度与岸的夹角越小，路程越长，但过河时间t ，与水速无关，故A、B、D均错误，C正确,答案：C,例1一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静 止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增 大到F1F，则质点以后 ( ) A一定做匀变速曲线运动 B在相等的时间内速度的变化一定相等 C可能做匀速直线运动 D可能做变加速曲线运动,思路点拨 解答本题应注意以下三点： (1)F1增大后质点所受合力的方向与速度方向间的关系； (2)质点所受的合力是否为恒力； (3)质点做曲线运动的条件,课堂笔记 F1、F2为恒力，质点从静止开始做匀加速直线运动，F1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，所以质点将做匀变速曲线运动，故A对由加速度的定义a 知，在相等的时间t内va·t必相等，故B对做匀速直线运动的条件是F合0，所以质点不可能做匀速直线运动，故C错由于F1突变后，F1F和F2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，所以D错,答案 AB,只要质点所受合外力的方向与速度方向不共线，质点 就做曲线运动如果合外力为恒力，可进一步判断质点做 匀变速直线运动.,例2.如图418所示，汽车向右沿水平面做匀速直线运动，通过绳子提升重物m.若不计绳子质量和绳子与滑轮间的摩擦，则在提升重物的过程中，下列有关判断正确的是 ( ) A重物加速上升 B重物减速上升 C绳子的张力不断减小 D地面对汽车的支持力增大,图418,思路点拨 因绳子不可伸长，重物m的速度和汽车沿 绳子方向的分速度大小是相等的,课堂笔记 汽车的速度可分解为如图所示的沿绳子方向的速度v1和垂直于绳子方向的速度v2，由图可得：v1=vcos. 当汽车沿水平面做匀速直线运动时，角逐渐减小，速度 v1逐渐增大，A正确，B错误；重物加速上升，重物处于超 重状态，通过微元法可求得加速度越来越小，由FT-mg=ma 知绳子的拉力逐渐减小，C正确；对汽车(设其质量为M)进 行受力分析可得：FN+FTsin=Mg，随着角的减小，FTsin减小，故FN增大，D正确,答案 ACD,绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，其两端点的 速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之 为“关联”速度“关联”速度的关系沿杆(或绳)方向 的速度分量大小相等.,例3.小船匀速横渡一条河流若船头垂直于对岸航行，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸求： (1)水流的速度； (2)船在静水中的速度； (3)河的宽度； (4)船头与河岸间的夹角.,思路点拨 小船渡河问题，主要说明水的流速和船在静水中的速度是分速度，而船在河中的实际速度是合速度，也是其合运动,解题样板 船头垂直于对岸航行时，如图419所示,图419,因为xv2t1(2分) 所以水的流速v2 m/s0.2 m/s (1分) 而且有dv1t1 船头保持与岸成角航行时，如图4110所示,图4110,v2v1cos(2分) dv1t2sin(2分) 由式得： Sin 0.8(1分) 所以53° (2分) 由得：v1 m/s (1分) dv1t1200 m. (2分),答案 (1)0.2 m/s (2) m/s (3)200 m (4)53°,小船渡河是典型的运动的合成与分解问题，此类问题，一定要搞清船速、水流速度和船的实际速度的大小和方向的关系，才可分析渡河时间和渡过位移,1下列说法正确的是 ( ) A物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B物体在变力作用下有可能做曲线运动 C物体做曲线运动，沿垂直于速度方向的合力一定不为零 D沿垂直于速度方向的合力为零时，物体一定做直线运动,解析：物体是否做曲线运动，取决于物体所受合外力方向与物体运动方向是否共线，只要两者不共线，无论物体所受合外力是恒力还是变力，物体都做曲线运动，故A错误，B正确由垂直于速度的力改变速度的方向、沿速度方向的力改变速度的大小知，C、D正确,答案：BCD,2在地面上观察下列物体的运动，其中物体一定做曲线运动 的是 ( ) A向东运动的质点受到一个向西的力的作用 B正在竖直上升的气球突然遭遇一阵北风 C河水匀速流动，正在河里匀速驶向对岸的汽艇 D在匀速行驶的列车上，相对列车水平向后抛出的一 个小球,解析：A项中，力的方向与速度的方向相反，在一条直线上，质点仍做直线运动； B项中，气球的运动方向与受力方向不共线，做曲线运动； C项中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动； D项中，若小球相对列车向后抛出的速度与列车前进的速度大小相同，则小球相对地面的初速度为零，故做自由落体运动，为直线运动故只有B正确,答案：B,3如图4111所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨 迹示意图，已知质点在B点的速度方向与加速度方向相互 垂直，则下列说法中正确的是 ( ),图4111,AD点的速率比C点的速率大 BA点的加速度与速度的夹角小于90° CA点的加速度比D点的加速度大 D从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小,解析：质点做匀变速曲线运动，合力的大小、方向均不变，加速度不变，故C错误由B点的速度方向与加速度 方向相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故 质点由C到D的过程，合力做正功，速率增大，A正确A 点的加速度方向与过A的切线即速度方向的夹角大于90°， B错误从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误,答案：A,4船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为图4112中的 ( ),图4112,解析：为使船行驶到正对岸，v1、v2的合速度应指向正对岸，所以C正确,答案：C,5如图4113所示，质量为m、带电荷量为q的小球 自A点以速度v0水平抛出进入匀强电场，从小球刚进入 电场时开始计时，则小球在电场中的运动轨迹可能是 图4114中的 ( ),图4113,图4114,解析：设小球刚进入电场时的速度为v，v与水平方向成一 定的夹角，如图甲所示，小球进入电场后的受力情况如图 乙所示，由于h、v0、E、q、m各量数值未知，因此不能确定 与的具体关系若，则小球做直线运动，轨迹如图A； 若，小球做曲线运动，轨迹如图C；若，小球也做 曲线运动，轨迹如图B.综上所述，选项A、B、C正确,答案：ABC, 探究点一 运动的合成与分解,合运动和分运动的关系：合运动是物体的实际运动，分运动是合运动的两个效果,例1 某研究性学习小组进行了如下实验：如图132所示，在一端封闭的光滑玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(可视为质点)将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v03 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动R在上升过程中运动轨迹的示意图是( ),例1 D 【解析】 玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，而蜡块在竖直方向做匀速运动，故蜡块所受的合外力沿水平方向，根据曲线运动的特点，受力方向应指向曲线弯曲的内侧，故D正确,例1 变式题 C 【解析】 人的速度可以沿绳的方向及垂直绳的方向分解，沿绳方向的分速度大小就是船的速率，即v船vcos., 探究点二 平抛与类平抛问题,1平抛运动的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向的两个分运动 (1)水平方向：做匀速直线运动，vxv0，xv0t. (2)竖直方向：做自由落体运动，vygt，y gt2. 2类平抛运动的处理方法也是分解运动，即将其分解为沿初速度v0方向(不一定水平)的匀速运动(vxv0，xv0t)和沿合力方向(与初速度v0方向垂直)的匀加速运动(vyat，y at2)注意加速度方向不一定竖直向下、大小也不一定等于g.,例2 2011·广东卷 (双选)如图135所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( ),【点评】 平抛运动、类平抛运动处理的方法都是采用运动分解的方法，即分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方向初速度为零的匀加速直线运动例2属于平抛运动的问题，下面的变式题则是一道考查类平抛运动的问题,(2)将运动分解为竖直方向的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，设竖直方向运动的加速度为a1，运动时间为t1. 当带电质点恰好打在极板右边缘时， 对竖直方向，有：, 探究点三 圆周运动及其临界问题,竖直面内圆周运动的两种临界问题的比较,例3 2011·安徽卷如图137所示，倾角37°的斜面底端B平滑连接着半径r0.40 m的竖直光滑圆轨道质量m0.50 kg的小物块从距地面h2.7 m处沿斜面由静止开始下滑，已知物块滑到斜面底端B时的速度大小v6.0 m/s，已知小物块通过B点时无能量损失，sin37°0.6，cos37°0.8，g10 m/s2，求： (1)小物块与斜面间的动摩擦因数； (2)物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小,【点评】 处理竖直面内的圆周运动时，首先根据动能定理或机械能守恒定律确定最高点与最低点的速度关系，然后分别在最高点或最低点利用牛顿第二定律建立动力学方程并求解分析竖直面内的圆周运动要明确在最高点有无支撑，从而确定物体能通过最高点的临界条件, 探究点四 曲线运动的综合问题,曲线运动的综合问题一般以平抛运动、圆周运动情景为载体，综合考查曲线运动的规律、运动的分解与合成、牛顿运动定律、机械能守恒定律和动能定理等物理主干知识 在曲线运动综合问题的解题过程中，应首先进行物体受力分析和运动过程分析，然后确定应用何种规律解题，并且要注意两种不同运动分界点的运动和受力特征,例4 如图139所示，用内壁光滑的细管弯成半径为R的圆轨道，固定在竖直平面内，O是圆心，A、B为两个端口，A与圆心O等高，AOB120°，重力加速度为g. (1)一直径略小于圆管内径的小球从A点正上方h高处自由下落，并进入圆管运动，小球质量为m，求小球经过圆管最低点时对圆管的压力大小 (2)一直径略小于圆管内径的小球从A点正上方某点向右水平抛出，小球无碰撞地进入圆管运动，求小球水平抛出的初速度 (3)在(2)的情况下，求小球从A点离开后相对于A点上升的最大高度.,【点评】 本题综合考查了匀变速直线运动、圆周运动、平抛运动等常见物体运动的规律解答此题的关键是将全过程划分为几段分过程，然后分别对分过程根据相应规律建立方程，最后解方程,【备选理由】 与斜面有关的平抛运动是高考的常考点斜面倾角是连接斜面与平抛运动的桥梁”,一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( ),