辗转相除法与更相减损术.ppt

人教版普通高中课程标准实验教科书·数学必修3,1.3.1辗转相除法与更相减损术,“求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究.,例1.求18与24的最大公约数：,短除法,想一想，如何求8251与6105的最大公约数？,例1.求8251与6105的最大公约数：,为什么？,辗转相除法 （欧几里得算法）,试试看：用辗转相除法求225和135的最大公约数,思考：上面两个例子中的算理是什么？,1：用大数除以小数,2：除数变成被除数，余数变成除数,3：重复1、2，直到余数为0,辗转相除法（欧几里得算法）,定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,主要运用的是 哪种算法结构？,m = n × q r,辗转相除法（欧几里得算法）,(1)算法步骤：,第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r0,则m,n的最大公 约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,算法、框图、程序,m = n × q r,辗转相除法（欧几里得算法）,(2)程序框图：,m = n × q r,辗转相除法（欧几里得算法）,(3)程序：,INPUT “m,n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,例2.求98与63的最大公约数.,解：,986335 633528 35287 28721 21714 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,这又是为什么？,更相减损术,思考：上面例子中的算理是什么？,定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,更相减损术,循环结构,1.用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2.求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,请比较辗转相除法与更相减损术的区别,思考?,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,请阅读课本P34-37内容,小 结,