主讲教师高彦伟课件.ppt

,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十二讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,微分方程,第六章, 积分问题, 微分方程问题,推广,第6章,微分方程的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,§1,了解微分方程及其阶、解、通解、 初始条件和特解的基本概念,第6章,引例.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 验证函数,是微分方程,的解,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十三讲,常 微 分 方 程,高等数学,吉林大学远程教育,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,§2,解变量可分离方程,变量可分离的微分方程,第6章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例3:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,练 习,1.已知一阶微分方程,（1）求通解；,（2）求它过点（1，4）的特解；,（3）求出与直线,相切的解。,解：,（1）方程变形为,将方程两端积分，有,（2）将点（1，4）代入通解，得,所求特解为,（3）解方程组,由于相切，故根的判别式,所求曲线为,2. 求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十四讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,会识别齐次方程，会求其解,第6章,§3,齐次方程的定义,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例3. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十五讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,一阶线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶线性微分方程的形式,第6章,二、掌握求通解的计算公式,§4,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例2. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,内容小结,一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,练 习,1.判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,2. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,2. 设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解: 1) 先解定解问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,主讲教师：高彦伟,总课时：,124,第一百一十六讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,一阶微分方程的解法练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,第6章,一、一阶微分方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,三个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,提示：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,第6章,