正交基.ppt

8.2 正交基,一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： 1准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质 2能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组 3能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补 4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系 5掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法,8.2.1正交组的定义、性质,定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就叫做一个标准正交组.,1正交组的定义,事实上，我们有,把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C0，2的一个标准正交组,2正交组的性质,8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性,1标准正交基的定义,（3）,其次，令,2标准正交基的性质,取,因而,3标准正交基的存在性,取,得,所以,定理得证。,定理8.2.3 任意n（n 0）维欧氏空间 一定有正交基，因而有标准正交基.,第二步，先取,然后令,第三步，取,再令,8.2.3 子空间的正交补,向量与一个非空子集正交,设W是欧氏空间V的一个非空子集,如果V中的每 一个向量都与W中的每一个向量正交,则称 与W正交,并记作 .,易知, 是V的一个子空间.,定理8.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量， 都有,于是,所以,即,我们也把向量在子空间W上的正射影叫做W到的最佳逼近。,这正是上面所说的W 对于f (x)的最佳逼近问题.,最小.,因此,所求的,应该是f(x)在W上的正射影.,由定理8.2.4,我们有,与等式(8)作比较,我们得到,叫做f (x)的富利叶系数.,8.2.4 正交矩阵的概念,定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另 一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.,8.2.5 n 维欧氏空间同构的概念及判别,1n维欧氏空间同构的定义,2n维欧氏空间同构的概念及判别,定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且 必要条件是它们的维数相等.,思考题,