2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1.ppt

3.4 生活中的优化问题举例,1.了解生活中的优化问题实例. 2.会利用导数解决某些实际问题.,1.生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 2.用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值. 3.解决优化问题的基本思路:,【做一做1】 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时的底面边长为( ) 答案:C,【做一做2】 把长60 cm的铁丝围成矩形,当长为 cm,宽为 cm时,矩形面积最大. 解析:设长为x cm,则宽为(30-x)cm, 所以面积S=x(30-x)=-x2+30x. 由S'=-2x+30=0,得x=15,30-x=15. 答案:15 15,1.求解应用问题的方法 剖析解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言.要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.对于这类问题,我们往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍. 运算不过关,就得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正确的解题思路.在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻求有利于问题解决的新的途径和方法,并从中进行一番选择.,2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 剖析(1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x). (2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围. (3)求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值. (4)下结论,紧扣题目,给出圆满的答案.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接起来(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 分析设出容器的高,进而求出容器的长和宽,表示出容积V,然后利用导数求最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:设容器的高为x cm(00,V(x)为增函数; 当10x24时,V'(x)0,V(x)为减函数. 因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得极大值,也是最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm3). 答:当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm3.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)写出实际问题的答案.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使体积最大,则其高应为( ),题型一,题型二,题型三,题型四,答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 注意利用导数的方法解决实际问题时,如果在定义区间内只有一个点使f'(x)=0,且函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道该点的函数值就是最大(小)值.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?,题型一,题型二,题型三,题型四,分析利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格,由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数就可求最大利润.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 解本题的关键是根据题意列出函数关系式,利用导数求最值.这种方法运算量比较小,且适用范围广,具有一般性.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数,若放置4个网箱,则每个网箱的产量为16吨;若放置7个网箱,则每个网箱的产量为10吨,由于该水域面积限制,最多只能放置10个网箱. (1)试问放置多少个网箱时,总产量Q最高? (2)若该种鱼的市场价为0.25万元/吨,养殖的总成本为(5ln x+1)万元,应放置多少个网箱才能使总收益y最大?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点 求极(最)值时没考虑定义域而致错 【例4】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为b(b0);固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,