直线平面垂直的判定及性质.ppt

§8.5 直线、平面垂直的判定及性质 要点梳理 1.直线与平面垂直 （1）判定直线和平面垂直的方法 定义法. 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直. 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直 于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面.,相交,垂直,基础知识 自主学习,(2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线. 垂直于同一个平面的两条直线 . 垂直于同一直线的两平面 . 2.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线 和平面所成的角. 3.二面角的有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的 所 组成的图形叫做二面角.,任意,平行,平行,两个半平面,（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点 为端点，在两个半平面内分别作 的两 条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法. 利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线 垂直于另一个平面.,垂直于棱,一条垂线,交线,基础自测 1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内， 则“l”是“lm且ln”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当l时，lm且ln.但当lm,ln 时，若m、n不是相交直线，则得不到l.,A,2.若P是平面外一点,则下列命题正确的是( ) A.过P只能作一条直线与平面相交 B.过P可作无数条直线与平面垂直 C.过P只能作一条直线与平面平行 D.过P可作无数条直线与平面平行 解析 过P点存在一平面与平行，则该平面内 过P的直线有无数条都与平行.,D,3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题: 若一个平面内的两条直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这 两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的 交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和,解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直 线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与 平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一 条直线的两条直线可以相交也可以异面，故 不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它 们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故 正确. 答案 D,4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面、 满足mn，m，则( ) A.n B.n，或n C.n D.n,或n 解析 n与的位置关系各种可能性都有， A、B都不对.当n时，作nn,且nm =O,则n与m确定平面,设=l,则有ml, 又mn,所以ln,ln,n;当n 时，显然成立.故C不对，D正确.,D,5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、 表示三个不同的平面. 若m,n,则mn;若, 则； 若m,n,则mn;若, m,则m. 正确的命题是( ) A. B. C. D. 解析 中平面与可能相交，中m与n可以 是相交直线或异面直线.故错，选C.,C,题型一 直线与平面垂直的判定与性质 如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面, M，N分别是AB，PC的中点. (1)求证：MNCD； (2)若PDA=45°. 求证：MN平面PCD. (1)因M为AB中点,只要证ANB 为等 腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MNAB. (2)已知MNCD，只需再证MNPC,易看出 PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可 得MNPC.,题型分类 深度剖析,证明 （1）连接AC，AN，BN， PA平面ABCD，PAAC， 在RtPAC中，N为PC中点， PA平面ABCD， PABC，又BCAB，PAAB=A， BC平面PAB，BCPB， 从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线， AN=BN， ABN为等腰三角形， 又M为底边AB的中点，MNAB， 又ABCD，MNCD.,(2)连接PM、CM,PDA=45°,PAAD, AP=AD. 四边形ABCD为矩形，AD=BC，PA=BC. 又M为AB的中点，AM=BM. 而PAM=CBM=90°,PM=CM. 又N为PC的中点，MNPC. 由（1）知，MNCD，PCCD=C, MN平面PCD. 垂直问题的证明，其一般规律是“由已 知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已 知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结 论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综 合的思路结合起来.,知能迁移1 RtABC所在平面外一点S,且SA=SB= SC，D为斜边AC中点. （1）求证：SD面ABC； （2）若AB=BC，求证：BD面SAC. 证明 （1）如图所示，取AB中点E， 连结SE，DE， 在RtABC中，D、E分别为AC、 AB的中点，故DEBC，且DEAB, SA=SB， SAB为等腰三角形，SEAB. SEAB，DEAB，SEDE=E， AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.,在SAC中，SA=SC，D为AC中点， SDAC. SDAC,SDAB,ACAB=A,SD面ABC. （2）若AB=BC，则BDAC， 由（1）可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD， SDBD,BDAC,SDAC=D,BD面SAC.,题型二 面面垂直的判定与性质 如图所示，在四棱锥PABCD 中，平面PAD平面ABCD，ABDC， PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 . (1)设M是PC上的一点， 证明：平面MBD平面PAD； (2)求四棱锥PABCD的体积. (1)因为两平面垂直与M点位置无 关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 平面PAD，考虑证明BD平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.,(1)证明 在ABD中,AD=4,BD=8,AB=4 , AD2+BD2=AB2.ADBD. 又面PAD面ABCD，面PAD面ABCD=AD， BD面ABCD， BD面PAD. 又BD面BDM，面MBD面PAD. (2)解 过P作POAD， 面PAD面ABCD， PO面ABCD， 即PO为四棱锥PABCD的高. 又PAD是边长为4的等边三角形， PO=,在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC， 四边形ABCD为梯形. 在RtADB中，斜边AB边上的高为 此即为梯形的高. 当两个平面垂直时，常作的辅助线是 在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为 线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角 的平面角或得到点到面的距离等.,知能迁移2 在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰 三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：ADCC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于 M,若AM=MA1,求证：截面MBC1侧面BB1C1C. 证明 (1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC. 底面ABC平面BB1C1C， 面ABC面BB1C1C=BC， AD侧面BB1C1C. CC1面BB1C1C，ADCC1.,（2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N. AM=MA1，NA1=A1B1. A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1. C1NC1B1. 截面NB1C1侧面BB1C1C， 面NB1C1面BB1C1C=C1B1， C1N侧面BB1C1C.C1N面C1NB， 截面C1NB侧面BB1C1C. 即截面MBC1侧面BB1C1C.,题型三 线面角的求法 （12分）如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面为直角梯形，ADBC， BAD=90°，PA底面ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PBDM； （2）求BD与平面ADMN所成的角. （1）易证PB平面ADMN. （2）构造直线和平面所成的角，解三角形. （1）证明 N是PB的中点，PA=AB， ANPB.BAD=90°，ADAB. PA平面ABCD，PAAD.,PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.4分 又ADAN=A，PB平面ADMN. 平面ADMN，PBDM. 6分 （2）解 连接DN， PB平面ADMN， BDN是BD与平面ADMN所成的角，8分 在RtBDN中， 10分 BDN=30°, 即BD与平面ADMN所成的角为30°. 12分,求直线和平面所成的角，关键是利用定 义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行 线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方 便寻找直线在该平面内的射影. 知能迁移3 如图所示，四面体ABCS中， SA、SB、SC两两垂直，SBA=45°， SBC=60°，M为AB的中点.求： （1）BC与平面SAB所成的角； （2）SC与平面ABC所成的角的正切值.,解 （1）SCSB，SCSA， SBSA=S，SC平面SAB， BC在平面SAB上的射影为SB. SBC为BC与平面SAB所成的角. 又SBC=60°,故BC与平面SAB所成的角为60°. （2）连结MC，在RtASB中， SBA=45°， ASB为等腰直角三角形， SMAB， 由（1）知ABSC，ABSM=M， AB平面SMC，, 平面ABC 平面SMC平面ABC. 过点S作SOMC于点O，SO平面ABC. SCM为SC与平面ABC所成的角. 由（1）知SC平面SAB， 又 平面SAB，SCSM， SMC为直角三角形. 设SB=a， 即SC与平面ABC所成的角的正切值为 .,题型四 二面角的求法 如图所示，三棱锥PABC中， D是AC的中点，PA=PB=PC= ， AC=2 ，AB= ，BC= . （1）求证：PD平面ABC； （2）求二面角PABC的正切值大小. （1）已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直. （2）关键是找出二面角的平面角，由AP=PB， 可考虑取AB的中点E.,（1）证明 连结BD， D是AC的中点，PA=PC= ， PDAC. AC= ，AB= ，BC= ， AB2+BC2=AC2. ABC=90°，即ABBC. PD2=PA2-AD2=3，PB= ， PD2+BD2=PB2.PDBD. ACBD=D，PD平面ABC.,（2）解 取AB的中点E，连结DE、PE， 由E为AB的中点知DEBC， ABBC，ABDE. PD平面ABC，PDAB. 又ABDE，DEPD=D， AB平面PDE，PEAB. PED是二面角PABC的平面角. 在PED中， PDE=90°, 二面角PABC的正切值为 .,找二面角的平面角常用的方法有: (1)定义法：作棱的垂面，得平面角. (2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中线. 知能迁移4 如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是直角梯形， PA平面ABCD，且ADBC， ADDC,ADC和ABC均为等腰直角三角形, 设PA=AD=DC=a，点E为侧棱PB上一点， 且BE=2EP. （1）求证：平面PCD平面PAD； （2）求证：直线PD平面EAC； （3）求二面角BACE的余弦值.,（1）证明 PA平面ABCD，DC平面ABCD， DCPA. 又ADDC，且PA与AD是平面PAD内两相交 直线， DC平面PAD. 又DC平面PCD， 平面PCD平面PAD. （2）证明 连结BD，设BD与AC相交于点F， 连结EF， 在等腰直角ADC中，ADDC，,又ADBC，ACB=DAC= 又ABC为等腰直角三角形，且底面ABCD是直 角梯形， （若B为直角，则与底面 ABCD是直角梯形相矛盾）. 由AD=DC=a，易知AB=AC= a，BC=2a， BCAD且BC=2AD，BF=2FD. 又BE=2EP，PDEF. 又EF平面EAC，PD平面EAC， 直线PD平面EAC.,（3）解 过点E作EHPA交AB于H点， 则EH平面ABCD，又ABAC，EAAC. EAH为二面角BACE的平面角. BE=2EP， 即二面角BACE的余弦值为 .,方法与技巧 1.证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的定义：a与内任何直线都垂 直a； （3）判定定理2：ab，ab； （4）面面平行的性质：，aa； （5）面面垂直的性质：，=l， a ，al a.,n,思想方法 感悟提高,2.证明线线垂直的方法 （1）定义：两条直线所成的角为90° （2）平面几何中证明线线垂直的方法； （3）线面垂直的性质：a，bab； （4）线面垂直的性质：a，bab. 3.证明面面垂直的方法 （1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角 是直二面角； （2）判定定理：a，a. 4.向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的 方法.,失误与防范 1.垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般 要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线， 使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直” 间的转化条件是解决这类问题的关键.,2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依 据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找 这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线 的垂线即可.,一、选择题 1.若l为一条直线,、为三个互不重合的平 面，给出下面三个命题： ,;, ;l,l. 其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 对于，与可能平行，故错. 正确，故选C.,C,定时检测,2.设a、b是不同的直线，、是不同的平面，则 下列四个命题中正确的是( ) A.若ab,a,则b B.若a,则a C.若a,则a D.若ab,a,b,则 解析 A中，b可能在内；B中，a可能在内, 也可能与平行或相交（不垂直）；C中，a可 能在内；D中，ab，a，则b或 b,又b,.,D,3.（2009·北京理，4）若正四棱柱ABCDA1B1 C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60° 角，则A1C1到底面ABCD的距离为( ) A. B.1 C. D. 解析 如图所示，直线AB1与底面 ABCD所成的角为B1AB，而A1C1 到底面ABCD的距离为AA1， 在RtABB1中，B1B=AB·tan 60°= . 所以AA1=BB1= .,D,4.已知直线l平面，直线m平面，下面有三 个命题： lm;lm;lm ; 则真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 如图所示，设面AB1为，面 A1C1为，A1D1，A1C1， 而A1D1与A1C1相交，故错.,C,5.下面四个命题： “直线a直线b”的充要条件是“a平行于b 所在的平面”； “直线l平面内所有直线”的充要条件 是“l平面”； “直线a、b为异面直线”的充分不必要条件 是“直线a、b不相交”； “平面平面”的必要不充分条件是 “内存在不共线三点到的距离相等”. 其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D.,解析 ab推不出a平行于b所在的平面，反之也 不成立.不正确.由线面垂直的定义知正确. a、b不相交时，a、b可能平行，此时a、b共面. 不正确. 当时，内一定有三个不共线的点到平面 的距离相等.反之，设A、B、C是内三个不共 线的点，当过ABC的中位线时，A、B、C三点 到的距离相等，但此时、相交，正确. 答案 C,6.（2009·浙江理，5）在三棱柱ABCA1B1C1 中，各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面 BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的 大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 取BC中点E，连结AE，则AE平面 BCC1B1，故ADE为直线AD与平面BB1C1C所 成的角.设各棱长为a，则 ADE=60°.,C,二、填空题 7.（2008·全国文，16）已知菱形ABCD中, AB=2，A=120°，沿对角线BD将ABD折起, 使二面角A-BD-C为120°，则点A到BCD所在 平面的距离等于 . 解析 如图所示，取BD中点E，连接 AE、CE. ABD、BCD均为等腰三角形， AEBD，CEBD， BD平面AEC. AEC为二面角ABDC的平面角，,AEC=120°. 在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则 H在CE的延长线上. BD平面AEC，BDAH.又AHCE, AH平面BCD.BAD=120°,BAE=60°, 又AEH=60°, 即点A到BCD所在平面的距离为 .,答案,8.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD平 面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成 角的正切值为 . 解析 如图所示，取BD中点O，连结AO、OE， 则AOBD.平面ABD平面CBD， AO平面BCD，OEBC， AEO即为AE、BC所成的角. 设正方形的边长为2，则OE=1，AO= ， tanAEO= .,9.a、b表示直线，、表示平面. 若=a,b,ab，则; 若a,a垂直于内任意一条直线， 则； 若，=a,=b,则ab; 若a不垂直于平面，则a不可能垂直于平面 内无数条直线； 若a,b,ab,则. 上述五个命题中，正确命题的序号是 .,解析 对可举反例如图，需b才能 推出.对可举反例说明，当不 与，的交线垂直时，即可得到a，b不 垂直；对a只需垂直于内一条直线便可以垂直 内无数条与之平行的直线.所以只有是正确的. 答案 ,三、解答题 10.四面体ABCD中,AC=BD，E、F分别是AD、BC 的中点，且 BDC=90°. 求证：BD平面ACD. 证明 如图所示，取CD的中点G，连接EG、 FG、EF. E、F分别为AD、BC的中点， EG AC，FG BD.,又AC=BD， 在EFG中，EG2+FG2= AC2=EF2. EGFG.BDAC. 又BDC=90°，即BDCD，ACCD=C， BD平面ACD.,11.如图所示，已知ABC是等边三角形， EC平面ABC，BD平面ABC，且EC、 DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点， CE=2BD. 求证：（1）DE=DA； （2）平面BDM平面ECA； （3）平面DEA平面ECA. 证明 如图所示，取AC中点N，连结MN、BN，,EC平面ABC，BD平面ABC， ECBD.ECA中，M、N分别是EA、CA中点, MNEC， 又EC=2BD，MNBD且MN=BD. 四边形MNBD是平行四边形.MDBN. EC平面ABC，且BN平面ABC,ECBN. 正三角形ABC中，N是AC中点，BNAC. 又ACEC=C， BN平面ECA.MD平面ECA.,（1）MD平面ECA，EA平面ECA， MDEA. EM=MA，RtDMERtDMA. DE=DA. （2）MD平面ECA，MD平面BDM， 平面BDM平面ECA. （3）MD平面ECA，MD平面DEA， 平面DEA平面ECA.,12.（2009·北京理，16）如图，在三 棱锥PABC中，PA底面ABC，PA =AB，ABC=60°,BCA=90°,点 D、E分别在棱PB、PC上,且DEBC. (1)求证：BC平面PAC. (2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的 角的正弦值. (3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面 角？并说明理由. （1）证明 PA底面ABC，PABC. 又BCA=90°,ACBC.又ACPA=A, BC平面PAC.,(2)解 D为PB的中点，DEBC， 又由（1）知，BC平面PAC， DE平面PAC，垂足为点E. DAE是AD与平面PAC所成的角. PA底面ABC，PAAB. 又PA=AB， ABP为等腰直角三角形. 在RtABC中，ABC=60°,在RtADE中，sinDAE= AD与平面PAC所成角的正弦值为 . (3)解 DEBC，又由(1)知,BC平面PAC， DE平面PAC. 又AE平面PAC，PE平面PAC， DEAE，DEPE. AEP为二面角ADEP的平面角. PA底面ABC，PAAC，PAC=90°. 在棱PC上存在一点E，使得AEPC. 这时，AEP=90°, 故存在点E使得二面角ADEP是直二面角.,返回,