一随机变量的数字期望.ppt
第二章随机变量的分布与数字特征,2.4随机变量的数字特征,一、随机变量的数字期望,1、离散型随机变量的数学期望,例2.24 一个年级有100个学生，年龄组成为:17岁的2人;18岁的2人;19岁的30人20岁的56人;21岁的10人,求该年级学生的平均年龄。,定义2.13,（又称,均值）为,例,甲, 乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们的分布律分别为,试评定他们的成绩的好坏.,解,得,(分).,这意味着,如果甲进行很多次的射击,那么,所,得分数的算术平均就接近 1.8.,例,甲, 乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们的分布律分别为,试评定他们的成绩的好坏.,解,而乙所得分数的,数学期望为,很明显,乙的成绩远不如甲的成绩.,例2.25 一批产品有一、二、三等品及废品共4级，相应比例为60%,20%,10%,10%若各等级产品的产值分别为6元,5.5元,4元及-1元，求产品的平均产值，,解,设一个产品的产值为X元，依题意，X的概率分 布如图,（元）,例2.26 已知盒内有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中一次摸出3个球，计算摸到的白球个数X的数学期望EX。,解:X只取、1、2各值，,根据古典概型公式,容易求出各概率值：,例2.27 设甲袋内有3个白球与3个黑球，乙袋内有3个白球，现从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋。求 （1）乙袋内黑球个数X的数学期望； （2）从乙袋内再任取一球是黑球的概率,解,（1）X只取0、1、2、3各值,所以计算出概率得X的概率分布为,（2）设事件B=“从乙袋内任摸一球为黑球”由于事件B发生的概率与乙袋内黑球的个数也就是从甲袋中取出的黑球个数有关，,是一个完备事件组，,根据全,概率公式,补例1 掷一枚骰子，X表示出现的点数，求EX.,解：,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,EX=1×1/6 + 2×1/6 + 3×1/6 + 4×1/6 + 5×1/6 + 6×1/6,=3. 5,补例2设X的分布律为,X -1 0 1,P 0.3 0.2 0.5,求EX.,解：,EX= -1×0.3 + 0×0.2 + 1×0.5,=0.2,练习：,X -1 0 1 2,P 0.2 0.3 0.1 0.4,求EX.,2、连续型随机变量的数学期望,定义2.14,其密度函数为,如果,绝对收敛，,例,求,解,故,解,求 EX,例2.28 设随机变量X的概率密度函数为,其他,补例,设随机变量,且,解,由题意知,解方程组得,例2.29 设随机变量X的概率密度函数为,其他,求 EX,解,例2.30 设随机变量X的概率密度函数为,讨论EX的存在性,解,因此EX不存在,此例说明，并不是所有随机变量的期望都是存在的,、随机变量函数的数学期望,设x是一个随机变量，,g(x)是x的一个实值函数,如果当随机变量X取x值，,另一个随机变量Y取值g(x),则称随机变量Y是X的函数，,记作g(x).,如果一个函,这个函数本身也是随机变量且它 是作为自变量是随机变量的函数。,这里我们首先讨论如何根据随机变量X的分布计 算X的函数Y=g(x)的数学期望,数的自变量，那么,定理2.8,在,于是,(1),其概率分布为,(2),其概率密度为,则,的数学期望为,推论 （1）对于任意实数a，Ea=a。,（2）如果EX存在，对任意实数a，都有,（3）若 的期望都存在，则对任意实数,都有,特别的,例2.31设随机变量X的概率分布由表所示,解,例2.32 是随机变量X服从期间a,b上的均匀分布，求EX与 .,解 依题意，X的概率密度函数为,其他,例2.33 设X服从期间 上的均匀分布,求,解 依题意，X的概率密度函数为,其他,引例： 现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命 中的环数用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y 表示，甲、乙两射手射击中命中的环数分布分别 为：,现在问甲、乙两位射手谁的射击水平更稳定些？,二、随机变量的方差,定义2.15 设随机变量X平方的数学期望存在,即,则称,为随机变量,X的方差，,称,为X的标准差.,根据随机变量函数的期望公式，若离散型随机变 量X的概率函数为,则,若连续性随机变量X的概率密度函数为 则,2、方差性质,设随机变量X的方差DX存在，则对任意实数 a，都有,（1）,（2）,（3）,特别的,（5）,（4）,例2.35 X表示掷一颗均匀骰子掷出的点数求X的期望和方差。,解：,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,例2.36 设连续型随机变量X的概率密度函数为,其他,求X的方差DX,所以,例2.39 已知随机变量X服从二项分布 且 ,求X的概率函数与分布函数.,解,解得q=0.2，p=1-q=0.8，n=3,于是X的概率函数与分布函数分别是,例2.40 设随机变量X服从期望为1的指数分布， 求概率,解 由于,例2.41 设随机变量X服从期望值为0，方 差为 的正态分布,已知 求 的值。,解 设X的分布函数为F(x),则,根据题设条件,查正态分布表知,四、随机变量的矩,定义2.16 设X是一个随机变量,如果 则称,为X的n阶原点矩,为X的n阶中心矩,
