2018版高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案新人教A版必修420170724.doc

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.掌握ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点)2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期，单调区间及最值.(难点)3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)基础·初探教材整理1函数的周期性阅读教材P34P35“例2”以上部分，完成下列问题.1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.(2)余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.函数y2cos x5的最小正周期是_.【解析】函数y2cos x5的最小正周期为T2.【答案】2教材整理2正、余弦函数的奇偶性阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题.1.对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.2.对于ycos x，xR恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.判断函数f(x)sin的奇偶性.【解】因为f(x)sincos 2x.且f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，所以f(x)为偶函数.教材整理3正、余弦函数的图象和性质阅读教材P37P38“例3”以上内容，完成下列问题.函数名称图象与性质性质分类ysin xycos x相同处定义域RR值域1,11,1周期性最小正周期为2最小正周期为2不同处图象奇偶性奇函数偶函数单调性在(kZ)上是增函数；在(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，2k(kZ)上减函数对称轴xk(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(kZ)最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k时，ymax1；x2k时，ymin1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若sinsin，则是函数ysin x的一个周期.()(2)函数ysin x在第一象限内是增函数.()(3)余弦函数ycos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条.()(4)函数ysin x，x的最大值为0.()【解析】(1)×.因为对任意x，sin与sin x并不一定相等.(2)×.ysin x的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示.(3).由余弦函数图象可知正确.(4).函数ysin x在x上为减函数，故当x0时，取最大值0.【答案】(1)×(2)×(3)(4)小组合作型三角函数的周期问题及简单应用(1)下列函数是以为最小正周期的函数是()A.ysin x B.ysin x2C.ycos 2x2 D.ycos 3x1(2)函数ysin的最小正周期为_.(3)求函数y|sin x|的最小正周期.【精彩点拨】(1)(2)利用周期定义或公式T求解.(3)利用图象求解.【自主解答】(1)ysin x及ysin x2的最小正周期为2，ycos 2x2的最小正周期为，ycos 3x1的最小正周期为，所以选C.(2)法一：ysinsinsin，所以最小正周期为.法二：因为函数ysin中2，所以其最小正周期T.【答案】(1)C(2)(3)作函数y|sin x|的简图如下：由图象可知y|sin x|的最小正周期为.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解.(2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期.再练一题1.求下列三角函数的周期：(1)ycos 2x，xR；(2)ysin，xR. 【导学号：00680018】【解】(1)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(2)因为sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.三角函数奇偶性的判断(1)函数ysin是()A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数(2)已知aR，函数f(x)sin x|a|(xR)为奇函数，则a等于()A.0 B.1 C.1 D.±1【精彩点拨】(1)可先化简解析式再判断奇偶性.(2)可由f(x)f(x)恒成立来求a.【自主解答】(1)因为ysinsinsincos 2 016x，所以为偶函数.(2)函数的定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(x)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，从而a0，故选A.【答案】(1)B(2)A1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系.2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.再练一题2.(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为 ()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性.【解析】(1)f(x)的定义域是R，且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函数为奇函数.【答案】A(2)f(x)sincos x，f(x)coscos x，函数f(x)sin为偶函数.求正、余弦函数的单调区间(1)下列函数，在上是增函数的是()A.ysin x B.ycos xC.ysin 2x D.ycos 2x(2)函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_.(3)求函数ysin的单调递减区间.【精彩点拨】(1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用，a为ycos x对应增区间子集求a范围；(3)可先化为ysin后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解.【自主解答】(1)因为ysin x与ycos x在上都是减函数，所以排除A，B.因为x，所以2x2.因为ysin 2x在2x，2内不具有单调性，所以排除C.(2)因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有<a0时满足条件，故a(，0.【答案】(1)D(2)(，0(3)ysinsin，令zx，则ysin z，要求ysin z的递减区间，只需求sin z的递增区间，即2kz2k，kZ，所以2kx2k，kZ，所以2kx2k，kZ.故函数ysin的单调递减区间为(kZ).1.求形如yAsin(x)b或形如yAcos(x)b(其中A0，>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.2.具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；在A>0，>0时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.再练一题3.求函数y2cos的单调递减区间.【解】令2k3x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数y2cos的单调递减区间为(kZ).探究共研型正、余弦函数的值域与最值问题探究1函数ysin在x0，上最小值是多少？【提示】因为x0，所以x，由正弦函数图象可知函数的最小值为.探究2函数yAsin xb，xR的最大值一定是Ab吗？【提示】不是.因为A>0时最大值为Ab，若A<0时最大值应为Ab.求下列函数的值域：(1)y32sin 2x；(2)ycos，x；(3)ycos2 x4cos x5.【精彩点拨】(1)利用1sin 2x1求解.(2)可换元令zx，转化为求ycos z值域来求解；(3)可换元，令cos xt，转化为一元二次函数来解决.【自主解答】(1)1sin 2x1，22sin 2x2，132sin 2x5，原函数的值域是1,5.(2)由ycos，x可得x，函数ycos x在区间上单调递减，函数的值域为.(3)ycos2 x4cos x5，令tcos x，则1t1.yt24t5(t2)21，当t1，函数取得最大值10；t1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为2,10.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)yasin2xbsin xc(a0)，利用换元思想设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定.(2)yAsin(x)b，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)的范围，最后得最值.再练一题4.(1)函数y2cos，x的值域为_.(2)函数f(x)2sin2 x2sin x，x的值域为_.【解析】(1)x，2x，cos函数的值域为1,2.(2)令tsin x，x，sin x1，即t1.f(t)2t22t221，t，且该函数在上单调递增.f(t)的最小值为f1，最大值为f(1).即函数f(x)的值域为.【答案】(1)1,2(2)1.判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若sin(60°60°)sin 60°，则60°为正弦函数ysin x的一个周期.()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期.()(3)函数ysin x，x(，是奇函数.()【解析】(1)×.举反例，sin(40°60°)sin 40°，所以60°不是正弦函数ysin x的一个周期.(2).根据周期函数的定义知，该说法正确.(3)×.因为定义域不关于原点对称.【答案】(1)×(2)(3)×2.函数f(x)sin，xR的最小正周期为() 【导学号：70512011】A.B.C.2 D.4【解析】因为sinsinsin，即f(x4)f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4.【答案】D3.函数f(x)sin的一个递减区间是() 【导学号：00680019】A. B.，0C. D.【解析】令x，kZ，得x，kZ，k0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而.故选D.【答案】D4.比较下列各组数的大小：(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin 与sin.【解】(1)因为90°<150°<170°<180°，函数ycos x在区间90°，180°上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.(2)sinsinsin sinsin .因为0<<<，函数ysin x在区间上是增函数，所以sin <sin ，即sin <sin.10