安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第8讲函数模型及其应用教案2017091442.wps

函数模型及其应用 教 1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直 学 线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 目 2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段 标 函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上 “”升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于 立意 和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察， 加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动 命 和灵活。 题 预测 2017 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点， 走 因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模 向 问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和 最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 教 学 多媒体课件 准 备 1 一知识梳理： 利用所学 1解决实际问题的解题过程 函数的有 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间 关知识解 的主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量； 决实际问 （2）建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模 题，需要 型一般都是函数的解析式； 对问题进 （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择 行分析， 函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 以选择相 这些步骤用框图表示： 应知识来 解决。其 实际问题 抽象概括 函数模型 教 运 用 函 数 性 质 基本步骤 可用框图 表示。 学 实际问题的解 还原说明 函数模型的解 过 程 2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力： （1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清 数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的 函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘 记考察函数的定义域； （3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小） 值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。 二典例分析 考点一：一次函数与二次函数模型 2 典题导入 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关， 采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少 为 400吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地 1 表示为：y x2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 2 元 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损？ 设该单位每月获利为 S， 本题较简 则 S100xy 1 100x(x 2200x80 000) 2 单，可完 全由学生 1 x2300x80 000 2 独立完成。 1 (x300)235 000， 2 因为 400x600， 所以当 x400时，S 有最大值40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损 由题悟法 1在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是 直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)，对一次函数模型，主 要是利用一次函数的图象与单调性求解 2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等对 二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决 3在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域 以题试法 1(2012·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40cm 与 60 cm， 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残 料最少？ 解：如图，剪出的矩形为 CDEF， 设 CDx，CFy， 则 AF40y. AF FE AFEACB， ， AC BC 3 40y x 即 . 40 60 2 y40 x.剩下的残料面积为 3 1 2 S ×60×40x·y x240x1 200 2 3 2 (x30)2600. 3 0500时，f(x)0.05×50020 000×5002(0.25 × 0.5)12 x， 100 400 故 f(x)Error! x2 19 1 1 345 (2)当 0500时，f(x)12 x4 时， 试列出函 y4×1.83x×1.83(5x4)20.4x4.8. 数关系式。 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x4 时， y2×4×1.83×24x9.6. 所以 yError! (2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增， 4 4 当 x0，5 时，yf(5 )26.4； 4 4 4 当 x( 3 时，yf( 26.4； ， 3 ) 5 4 当 x( ，)时，令 24x9.626.4， 3 解得 x1.5. 所以甲户用水量为 5x5×1.57.5 吨， 付费 S14×1.83.5×317.70 元； 乙户用水量为 3x4.5 吨， 付费 S24×1.80.5×38.70 元 考点三; 指数函数模型 典题导入 (2012·广州模拟)一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积 的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积 1 2 至少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 . 4 2 5 (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ (1)设每年降低的百分比为 x(0x1)则 1 1 a(1x)10 a，即(1x)10 ， 2 2 分段函数 在实际生 1 1 解得 x1(2 ) . 10 活中，较 2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ，则 2 为常见， 也是新课 2 1 m 1 1 m 1 a(1x)m 2a，即( 10(2 )， ，解得 m5. 2 ) 2 10 2 标侧重的。 故到今年为止，已砍伐了 5 年 (3)设从今年开始，以后砍了 n 年， 2 则 n 年后剩余面积为 a(1x)n. 2 2 1 2 令 a(1x)n a，即(1x)n ， 2 4 4 1 n 1 3 n 3 (2 )10 (2 ) ， ，解得 n15. 2 10 2 故今后最多还能砍伐 15 年 由题悟法 增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 yN(1p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 ya(1x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间) 的形式解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解 以题试法 3某电脑公司 2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 400 万元，占全年 经营总收入的 40%.该公司预计 2014年经营总收入要达到 1 690 万元，且计划从 2012 年到 2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为_万元 400 13 解析：设年增长率为 x，则有 ×(1x)21 690,1x ，因此 2013 年预计经营 40% 10 400 13 总收入为 × 1 300(万元) 40% 10 答案：1 300 6 函数模型及其应用 板 书 设 计 例 1 例 2 例 3 教 学 对应用性问题，学生一直感到比较困难。这样原因是，学生对文字意思理解不透、不全面。应用 反 性问题，以后还要在不断练习、巩固、强化。 思 7