2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.1第1课时综合法及其应用学案新人教A版选修1_2.doc

2.2.1第1课时综合法及其应用1了解直接证明的基本方法综合法，掌握其证明方法、步骤(重点) 2理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题(难点、易混点)基础·初探教材整理综合法阅读教材P36的内容，完成下列问题1综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的框图表示(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法()(2)综合法证明的依据是三段论()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件()【解析】(1)正确由综合法的定义可知该说法正确(2)正确综合法的逻辑依据是三段论(3)正确综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件【答案】(1)(2)(3)小组合作型用综合法证明三角问题在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求证：A的大小为60°；(2)若sin Bsin C.证明：ABC为等边三角形【精彩点拨】(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A；(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明ABC60°.【自主解答】(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)·sin C，得2a2(2bc)·b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A.所以A60°.(2)由ABC180°，得BC120°，由sin Bsin C，得sin Bsin(120°B)，sin B(sin 120°cos Bcos 120°sin B)，sin Bcos B，即sin(B30°)1.因为0°<B<120°，所以30°<B30°<150°，所以B30°90°，即B60°，所以ABC60°.即ABC为等边三角形证明三角等式的主要依据1三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式2和、差、倍角的三角函数公式3三角形中的三角函数及三角形内角和定理4正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式再练一题1求证：32cos2.【证明】原式右边112sin212(1cos2)32cos2左边所以原式成立用综合法证明几何问题如图2­2­1，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，E，F分别是AB，BD的中点求证：(1)直线EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD. 【导学号：81092018】图2­2­1【精彩点拨】(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可【自主解答】(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是ABD的中位线，所以EFAD，又EF平面ACD，AD平面ACD，所以直线EF平面ACD.(2)因为ADBD，EFAD，所以EFBD.因为CBCD，F是BD的中点，所以CFBD.又EFCFF，所以BD平面EFC.因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用.在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言.这也是证明空间位置关系问题的一般模式.再练一题2如图2­2­2，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1ADa，AB2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点图2­2­2(1)求证：DE平面BCE；(2)求证：AF平面BDE.【证明】(1)BC侧面CDD1C1，DE侧面CDD1C1，DEBC.在CDE中，CD2a，CEDEa，则有CD2DE2CE2，DEC90°，DEEC，又BCECC，DE平面BCE.(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，EF綊A1C1，AO綊A1C1，EF綊AO，四边形AOEF是平行四边形，AFOE.又OE平面BDE，AF平面BDE，AF平面BDE.探究共研型用综合法证明不等式问题探究1已知a，b0，试用综合法证明：a(b2c2)b(c2a2)4abc.【提示】因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc，又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.探究2综合法证明不等式的主要依据有哪些？【提示】(1)a20(aR)(2)a2b22ab，2ab，a2b2.(3)a，b(0，)，则，特别地，2.(4)ab0ab；ab0ab.(5)a2b2c2abbcca.已知x>0，y>0，xy1，求证：9.【精彩点拨】解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明【自主解答】法一：因为x>0，y>0,1xy2，所以xy.所以111189.法二：因为1xy，所以52.又因为x>0，y>0，所以2，当且仅当xy时，取“”号所以52×29.综合法的证明步骤1分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；2转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程再练一题3已知a，b，c是正实数，a，b，c互不相等且abc1.证明：.【证明】因为a，b，c是正实数，a，b，c互不相等且abc1，所以22，22，22，所以22()，即.1已知等差数列an中，a5a1116，a41，则a12的值是()A15B30C31D64【解析】an为等差数列，a5a11a4a12.又a5a1116，a41，a1215.【答案】A2已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确的命题的个数是()A1B2 C3D4【解析】若l，则l，又m，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行，不正确；若l，lm，则m，又m，所以，正确【答案】B3若a，b，c是常数，则“a>0且b24ac<0”是“ax2bxc>0对任意xR恒成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】因为a>0且b24ac<0ax2bxc>0对任意xR恒成立反之，ax2bxc>0对任意xR恒成立不能推出a>0且b24ac<0，反例为：当ab0且c>0时也有ax2bxc>0对任意xR恒成立，所以“a>0且b24ac<0”是“ax2bxc>0对任意实数xR恒成立”的充分不必要条件【答案】A4已知pa(a>2)，q2a24a2(a>2)，则p与q的大小关系是_【解析】pa22224，a24a22(a2)2<2，q<224p.【答案】p>q5若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.【证明】因为a，b，c(0，)，所以0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立所以··abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg(abc)，所以lglglglg alg blg c.学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知a，b为非零实数，则使不等式：2成立的一个充分而不必要条件是()Aa·b>0Ba·b<0Ca>0，b<0Da>0，b>0【解析】2，2.a2b2>0，ab<0，则a，b异号，故选C.【答案】C2平面内有四边形ABCD和点O，则四边形ABCD为()A菱形B梯形C矩形D平行四边形【解析】，四边形ABCD为平行四边形【答案】D3若实数a，b满足0<a<b，且ab1，则下列四个数中最大的是() 【导学号：81092019】A.Ba2b2C2abDa【解析】ab1，ab>2，2ab<.而a2b2>，又0<a<b，且ab1，a<，a2b2最大，故选B.【答案】B4A，B为ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若A>B，则a>b，又，sin A>sin B；若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，A>B.【答案】C5设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值B恒等于零C恒为正值D无法确定正负【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.故选A.【答案】A二、填空题6设e1，e2是两个不共线的向量，2e1ke2，e13e2，若A，B，C三点共线，则k_.【解析】若A，B，C三点共线，则，即2e1ke2(e13e2)e13e2，【答案】67设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_【解析】a2c22(84)>0，a>c，又>1，c>b，a>c>b.【答案】a>c>b8已知三个不等式：ab>0；>；bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成_个正确的命题【解析】对不等式作等价变形：>>0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故.若ab>0，>0，则bc>ad，故.若bc>ad，>0，则ab>0，故.因此可组成3个正确的命题【答案】3三、解答题9如图2­2­3，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF平面PEC.图2­2­3【证明】四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，AB綊CD.又E，F分别为AB，CD的中点，CF綊AE.四边形AECF为平行四边形AFEC.又AF平面PEC，EC平面PEC，AF平面PEC.10在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列求证：ABC为等边三角形【证明】由A，B，C成等差数列知，B，由余弦定理知b2a2c2ac，又a，b，c也成等差数列，b，代入上式得a2c2ac，整理得3(ac)20，ac，从而AC，而B，则ABC，从而ABC为等边三角形能力提升1设x，yR，a>1，b>1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2B.C1D.【解析】axby3，xloga3，ylogb3，log3(ab)log321.故选C.【答案】C2在ABC中，tan A·tan B>1，则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【解析】因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1tan A·tan B<0，所以tan(AB)<0.所以AB是钝角，即角C为锐角【答案】A3若0<a<1,0<b<1，且ab，则ab,2，a2b2,2ab中最大的是_. 【导学号：81092020】【解析】由0<a<1,0<b<1，且ab，得ab>2，a2b2>2ab.又a>a2，b>b2，知ab>a2b2，从而ab最大【答案】ab4在三角形ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2ccos2b.【证明】在ABC中，三边a，b，c成等比数列，b2ac，左边(ac)(acos Cccos A)(ac)(ac)bbb右边，acos2ccos2b.11