高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法分析法1教案北师大版选修2_220170927347.wps

分析法 一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了 解分析法的思考过程、特点。 二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 ( (一) )、复习：综合法的思考过程、特点 （二）、引入新课 在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达 到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基 本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方 法叫做分析法这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。 特点：执果索因。即：要证结果 Q，只需证条件 P （三）、例题探析 例 1、已知：a，b 是不相等的正数。求证： a3 b3 a2b ab2 。 证明：要证明 a3 b3 a2b ab2 只需证明 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) ， 只需证明 (a b)(a2 ab b2 ) ab(a b) 0 ， 只需证明 (a b)(a2 2ab b2 ) 0 ， 只需证明 (a b)(a b)2 0 ， 只需证明 (a b) 0且(a b)2 0。 “由于命题的条件 a，b 是不相等的正数”，它保证上式成立。 这样就证明了命题的结论。 例 2、求证： 8 7 5 10 。 证明：要证明 8 7 5 10 ， - 1 - 只需证明 ( 8 7)2 ( 5 10)2 ， 即 8 7 2 56 5 10 2 50 ， 只需证明 56 50 ， 即 5650，这显然成立。 这样就证明了 8 7 5 10 例 3、求证：函数 f (x) 2x2 12x 16在区间（3，+）上是增加的。 证明：要证明函数 f (x) 2x2 12x 16在区间（3，+）上是增加的， 只需证明 对于任意x ， 1 x （3，+），且 2 x 1 x 时，有 ( 1 ) f (x ) 0 f x ， 2 2 只需证明 对任意的x 1 x 3，有 2 f( x ) 1 f(x ) 2 (2x 2 1 12x 1 2x 2x (12x 12x ) 2 2 1 2 1 2 2(x x )(x x ) 12(x 1 2 1 2 1 x ) 2 2(x 1 x )(x x 2 1 2 6) 0 x 1 x 3 2 x - 1 x 0，且 2 x + 1 x 6，它保证上式成立。 2 这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12x 16在区间（3，+）上是增加的。 （四）、小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找 它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从 数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法 则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解 答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基 本思考方法，应用十分广泛。 （五）、练习：课本P 练习 1：1、2。 11 （六）、作业：课本P 习题 1-2 4、5。 12 五、教后反思： - 2 -