高中数学第二章平面向量2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法教案苏教版必修420170824352.wps

2 22.12.1 向量的加法 整体设计 设计思想 数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等 概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方 法 教学内容分析 本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单 应用 教学目标分析 理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量 加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进 行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力 教学过程 1情景设置 从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才 “”“”能作为解决实际问题的工具呈现物理学中 合位移 和 合力 求法，提出问题：已知两个 “”“”“”向量，我们是否可以类比 合位移 或 合力 求法， 生成 一个新的向量？ 探索讨论：已知向量 a a 和 b b，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图， 作OAa a，ABb b，连结 OB得到新向量OB； 按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量： 如图，作OAa a，OBb b，以 OA、OB为邻边作平行四边形 OACB，得到新向量OC.当然，利 用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图 1(2)中的ACOB b b，也就说明由“平行四边形”法则得到的OC(见图 1(2)与由“三角形”法则得到的向量OB (见图 1(1)是相等的 1 (1) (2) 图 1 2向量加法定义 我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知 向量 a a 与 b b 的和，记作 a ab b，求两向量和的运算叫做向量的加法 3验证向量加法满足交换律、结合律 利用向量加法定义和法则可以验证以下结论： a a00a aa a. a a(a a)(a a)a a0. a ab bb ba a(加法交换律)(见图 2(1) (1) (2) 图 2 (a ab b)c ca a(b bc c)(加法结合律)(见图 2(2) 思考讨论：(1)A1A2A2A3An1AnAnA1？(多个向量相加法则) (2)|a ab b|与|a a|±|b b|的大小关系(数形结合) 4例题选讲(以学生活动为主) 例 1 如图 3，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，作出下列向量： 图 3 2 (1)OAOC；(2)BCFE；(3)OAFE. 解：(1)因为四边形 OABC 是以 OA、OC为邻边的平行四边形， OB 为其对角线，所以OAOCOB. (2)因为BC与FE 方向相同且长度相等，所以BC 与FE是相等向量，故BCFE与BC 方向相同， 长度为BC 长度的 2 倍，因此，BCFE 可用AD 表示所以BCFEAD. (3)因为OA与FE是一对相反向量，所以OAFE0. 例 2 在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船 要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 分析：如图 4，渡船的实际速度AC、船速AD 与水速AB 应满足ABADAC. 图 4 解：如图 4，设 AB 表示水流的速度，AD 表示渡船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速 度因为ABADAC，所以四边形 ABCD为平行四边形 在 RtACD 中，ACD90°，|DC|AB|12.5，|AD|25，所以CAD30°. 答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30°. 例 3 在平行四边形 ABCD的对角线 BD 的延长线上取两点 E、F，使 BEDF，用向量方法证 明四边形 AECF也是平行四边形. 分析：要证四边形 AECF是平行四边形，只需证AEFC. 图 5 AEABBE，FCFDDC，又四边形 ABCD是平行四边形，BEDF， 3 ABDC，BEFD，AEFC. 小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？ 5练习与反馈 (1)如图 6，已知向量 a a、b b，作出 a ab b. (1) (2) 图 6 (2)已知 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点，则下面结论中正确的是( ) A.ABCBAC B.ABADAC C.ADCDBD D.AOCOOBOD0 (3)在ABC 中，求证：ABBCAC0. (4)一质点从点 A 出发，先向北偏东 30°方向运动了 4 cm，到达点 B，再从点 B 向正西方 向运动了 3 cm到达点 C，又从点 C 向西南方向运动了 4 cm 到达点 D，试画出向量AB，BC，CD 以 及ABBCCD. 6课堂小结 今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景 和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平 “”“行四边形法则，其要点则分别为 首尾相连 和 起点重合，作平行四边形” 4