高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理教案苏教版必修420170824.wps

2 23.13.1 平面向量基本定理 整体设计 教学目标 知识目标 (1)了解平面向量基本定理 (2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合 适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示 能力目标 (1)培养学生用向量解决实际问题的能力 (2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力 情感目标 (1)增强学生的数学应用意识 (2)激发学生学习数学的兴趣 重点难点 教学重点：平面向量基本定理 教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用 教学过程 (1)复习回顾 师：如果向量 a a 与非零向量 b b 共线，那么 a a 与 b b 满足怎样的关系？ 生：a ab b. 师：当 a a，b b 确定时， 的值有几个？ 结论：如果向量 a a 与非零向量 b b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 a ab b. (2)引导探究 师：如果 a a 与 b b 不共线，则上述结论还成立吗？ (学生讨论) 结论：不成立 师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？ 学生回答 1 师：设 e e1、e e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a a 是这一平面内的任一向量，怎样用 e e1、e e2表示 a?a? 图 1 图 2 (学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得： 方法：平移(已知向量、未知向量)构造(共起点)平行四边形) OCOMON1OA2OB， 即OC1e e12e e2. 其中实数 1，2都是惟一存在的 设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量 e e1，e e2来表示，二 是怎样表示，三是表示的惟一性 (3)意义建构 平面向量基本定理：(学生描述) 如果 e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a a 有且只有 一对实数 1，2，使得 a a1e e12e e2. 师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？ 生：不共线、有且只有 师：我们把不共线的向量 e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 基底是否惟一？ 图 3 OCONOM 2 OEOF. 结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示在处理问题时经常选取最合适的一组 基底基底不惟一，关键是要不共线 (4)定理再认识 若 a a0，则有且只有：120 使得 a a1e e12e e2. 若 a a 与 e e1(或 e e2)共线，则有 20(或 10)，使得 a a1e e12e e2. 一个平面向量用一组基底 e e1，e e2 表示成 a a1e e12e e2 的形式，称它为向量 a a 的分 解特别地，当 e e1，e e2互相垂直时，这种分解也称为向量 a a 的正交分解 事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型在接下来的向量运算中，将要 用到向量 a a 的正交分解 图 4 例 1 如图 5，D 是ABC 中 BC 边的中点，ABa a，ACb b，试用 a a，b b 表示(1)DC，(2)AD. 1 解：(1)DC (b ba a) 2 1 1 1 (2)AD AE (ABAC) (a ab b) 2 2 2 图 5 设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的 量转化到已知量上，从而达到解题的目的 例 2 设 e e1，e e2是平面内的一组基底，OAe e1e e2，OB3e e1e e2，OCme e15e e2且 A、B、C 三点共线， (1)求实数 m 的值； 3 (2)试用向量OA，OB来表示OC. 解：(1)A、B、C 三点共线， ABBC. 又ABOBOA(3e e1e e2)(e e1e e2)2e e12e e2， BCOCOB(me e15e e2)(3e e1e e2) (m3)e e14e e2， 2e e12e e2(m3)e e14e e2， 故有Error! Error! (2)由上知，OC7e e15e e2 ，根据平面向量基本定理，存在惟一的实数 s，t，使得OCsOA tOB. 7e e15e e2s(e e1e e2)t(3e e1e e2) Error! Error! OC2OA3OB. 解题反思：三点共线的等价条件是什么？ 向量相等，对应向量的系数相等 设计意图：体现解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识(任意共线三点 A， B，C，满足OCsOAtOB，则 st1)的进一步理解 (5)小结： a平面向量基本定理的内容 b对基本定理的理解：实数对 1，2的存在性和惟一性，基底的不惟一性 c基本定理的作用是什么？ d定理中蕴涵着哪些数学思想？ 4