梁横截面上的应力.ppt
§7-2 梁横截面上的应力,7.2.1 纯弯曲梁横截面上的正应力,观察梁受力时的表面变形特点,提出合理假设(平面假设),几何关系(变形协调关系) ：推断梁内部变形,由物理关系：推断应力,（截开）由静力平衡条件推导公式,静力关系,CL8TU3,梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平 面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截 面绕某一轴旋转了一个角度。,中 性 层,中性轴,考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线（m-m和n-n） 和与轴线平行的纵线（a-a和b-b）如图。,l,变形后,m,n,可以发现梁表面变形具有如下特征： （1）横线（m-m和n-n）仍是横直线，只是发生相对转动，仍与纵线（如a-a，b-b）正交。 （2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。,根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。 此外还假设：梁的各纵向纤维（上层的）互不挤压，（下层的）互不牵拉，即梁的纵截面上无正应力作用。,根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。如图所示，中性层与横截面的交线为截面的中性轴。因此横截面绕着中性轴转过一个角度。,得到纯弯情况下的正应力计算公式 (7.4) 上式中正应力的正负号与弯矩及点坐标y的正负号有关。实际计算中，一般根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及M和y的正负。,z,y,Wz 称为弯曲截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为长度3。国际单位用m3或mm3 。,对于宽度为b、高度为h的矩形截面，抗弯截面系数为 直径为d的圆截面，抗弯截面系数为,内径为d、外径为D的空心圆截面，抗弯截面系数为 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的Iz 、 W值可从型钢表中查得。,横力弯曲作用为：,z,y,o,例1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？,CL8TU7,解：,例2： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。,二、梁的正应力强度条件（课本第三节）,设max是发生在梁最大处的工作应力，则: 上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。,最大工作 应力,材料的 许用应力,对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件可表达为:,对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度 t 和抗压强度 c 相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。,强度条件可以解决以下三方面的问题： 1）梁的校核强度 2）设计梁的（最小）截面尺寸 3）确定梁的（最大）许用外载荷 F （难点）。,解题的基本过程： 1，分析题意是等直梁，还是变截面梁，是塑性材料, 还是脆性材料。 2，是三类问题中的那一类问题。 3，先求梁或结构的反力 4，求作每一梁的内力图（这里是弯矩图） （确定危险截面） 5，写出公式，再求解。 6，正确回答问题。 （如：强度够、强度不够）,例3：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。,CL8TU10,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,例4: 已知楼板主梁由工字钢制成，尺寸如图，=152MPa。试选择工字钢的号码。,2.5m,2.5m,2.5m,解： 解得：FA= FB= 75×3/2=112.5kN,FB,FA,2.5m,2.5m,2.5m,M A右=0; M C右= M C左=112.5×2.5=281.25kN M D左= 112.5×575×2.5=375kN 利用对称性：,A,B,F=75kN,C,D,E,10m,FA,FB,2.5m,2.5m,2.5m,M,+,375kNm,查表 56b Wz=2446.69cm3 56c Wz=2551.41cm3 所以选56c 。 注： 选56b , max=153MPa （max- ）/ =0.65 5 , 故也可选56b 。,例5：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力c =60MPa,z=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。,CL8TU12,C截面：,B截面：,例6:已知梁由铸铁材料制成, 截面尺寸如图，Iz=5493×104mm4， t =30 Mpa， c = 90MPa。试求 F 。,C,F,B,D,q=F /b,2 m,2 m,2 m,解： MB=0 FA×2b +F×bq . b 2 /2=0 FA = F/ 4,FA,FB,M A右=0; M C右= M C左= F/ 4×b = F b / 4 M D左=0 M B左= M B右=q . b 2 /2=F b / 2,AC段线性,CB段线性,BD段下凸,FA,FB,Fb/4,Fb/2,+,M,可能危险横截面为 C, B 截面： C 截面下拉上压； B 截面下压上拉。 MC MB,计算比较才能确定 t,max, c,max。,+,-,z,t,max,c,max,+,z,-,c,max,t,max,C截面,B 截面,C 截面: B 截面:,所以取 F =19.2kN,(1) 矩形横截面上的切应力 (2) 工程中常用横截面上的最大切应力 max 的计算 (3) 弯曲切应力强度计算,§7.3 弯曲剪应力和强度校核,做如下假设： （1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力。 （2）切应力沿截面宽度均匀分布。 基于上述假定得到的解（当hb时）与精确解相比有足够的精度 。,IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩； b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积 A*对中性轴的静矩。,一、矩形截面梁的剪应力,y,z,max,max,切应力 沿横截面高度 分布示意图,FQ,SZ* =A* y1 dA y=h / 2 , =0 y=0 , max =3FQ /2A (熟记),二、圆截面梁的剪应力,CL8TU18,下面求最大剪应力：,计算结果表明，在翼缘上切应力很小。,z,max,max,FQ,三、工字形截面梁的剪应力,对于标准工字钢梁：,等截面(矩形、工字形、圆形、薄壁圆环)直梁的max发生在截面的中性轴上，此处弯曲=0正应力，微元体处于纯剪应力状态。,纯剪应力状态强度条件为: max ,设 max是发生在梁最大剪力处的工作应力,则: 上式即为梁弯曲时的切应力强度条件。,最大工 作应力,材料的 许用应力,强度条件可以解决以下三个问题（或三方面应用）： 1）强度校核 2）设计(最小)截面尺寸(合理性) 3）确定(最大)允许外载荷 F ,解题的基本过程： 1，分析题意是等直梁，还是变截面梁。 2，是三类问题中的那一类问题。 3，一般先求梁或结构的反力 4，求作每一梁的内力图（这里是剪力图） （确定危险截面） 5，写出公式，再求解（确定危险点）。 6，正确回答问题。（如：强度够、强度不够）,2,工程上应用： max max 1）强度校核max max 2）设计（最小）截面尺寸 3）确定（最大）允许外载荷F,例9：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径dmin。,CL8TU19,解：,由正应力强度条件：,由剪应力强度条件：,7.3.3提高梁弯曲强度的措施 主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。 1减小最大弯矩 改变加载的位置或加载方式,A,l,B,F,C,M,+,M=Fl / 4,A,l,B,F,C,M,+,M=5Fl / 36,l/6,A,B,F,C,M,+,M=Fl / 8,l/2,D,l/4,l/4,辅梁,+,M,ql2 / 8, 改变支座类型或位置,A,B,q,0.2l,+,M,ql2 / 50,-,l,0.2l,ql2 / 40,ql2 / 50,2提高抗弯截面系数 选用合理的截面形状：截面积相同的条件下，抗弯截面系数愈大，则梁的承载能力就愈高。,z,b,h,z,当截面的形状不同时，可以用比值WZ /A来衡量截面形状的合理性和经济性。 常见截面的值：,0.167h,0.125h,(0.27-0.31)h,(0.29-0.31)h,h,用变截面梁阶梯梁,A,l,B,F,C,M,M=Fl / 4,+,加强梁,A,l,B,F,C,M,M=Fl / 4,+,鱼腹梁,A,l,B,F,M,+,M=Fl / 4,3提高材料的力学性能 选用力学性能更好的材料，如低合金钢等。,
