云南省曲靖会泽县第一中学校2018_2019学年高二数学第二次半月考试试题理20190429033.wps

会泽一中 20192019 年春季学期半月考试卷 2 2 高二数学（理科） 一、 选择题（本大题共 1212个小题，每小题 5 5 分，共 6060分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 A=x | log ( 1)，B=x | x 2，则 AB=（ ） y 2 x A.x | 0 x 2 B.x |1 x 2 C.x |1 x 2 D.R x2 y2 2. 椭圆 + =1的焦点坐标为（ ） 4 12 A.（ 2,0） B.（ 2 2 ,0） C.（0,2 2） D.（0,2 3） x y 1 3. 已知实数 x, y 满足 2x y 5，则函数 x y 的最大值为（ ） z 3 x 1 A.10 B.8 C.5 D.1 4. 已知双曲线的离心率为 2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程是（ ） x y 2 2 2 2 2 2 y x y x A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 4 10 6 4 12 x 2 6 y 2 10 1 5. 在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 21，则 = a a1 3 a3 a a n 4 5 （ ） A.33 B.72 C.84 D.189 6. 设向量 a (1, x 1),b (x 1,3) “，则 x 2 ”“是 a / b”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） 1+ 5 2+ 1+2 5 A 2+ B 2 2 C 2+1+ 5 D 2+ 2+ 5 2 8. 有四个关于三角函数的命题： - 1 - x 2 x 1 p sin2 cos p ： x R, + = : x、y R, sin(x-y)=sinx-siny 1 2 2 2 2 p 0, 1 cos 2 : x , =sinx : sinx=cosy x+y= x p 3 4 2 2 其中假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， p p p p p p p 1 4 2 4 1 3 2 p 4 9. 已知 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ,m m B. ,m ,n m n C.n / m,n m D.m ,n ,m / ,n / / 1 ab 10. 已知向量 a,b 满足 a 2, b 3，且 a 与 a b 夹角的余弦值为 ，则 （ ） 3 46 A.-2 B. 2 3 C. 2或 D.4 9 11. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) ，且当 x 0 时， f (x) 3x 1，若 4 2 1 3 a 2 45 c 25 ， ， ，则有（ ） b 3 A. f (a) f (b) f (c) B. f (b) f (c) f (a) C. f b f a f c D. f (c) f (a) f (b) 12. 已知直线l 与双曲线C 交于 A ， B 两点(A ， B 在同一支上),F1, F 为双曲线的两个焦点, 2 则 在（ ） F 1, F 2 A以 A ， B 为焦点的椭圆上或线段 AB 的垂直平分线上 B以 A ， B 为焦点的双曲线上或线段 AB 的垂直平分线上 C以 AB 为直径的圆上或线段 AB 的垂直平分线上 D以上说法均不正确 二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题 5 5 分，共 2020 分） 6 2 1 x 13. 在 的展开式中常数项是_（用数字作答） x 14已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点， 若 P(2, 2) 为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_ - 2 - 15等比数列 a 的公比 q 0 ， 已知 =1， ，则a 的前 4 项和 a a a a 2 1 6 n 2 n n n n S 4 =_ 16 已 知 数 列 中 , , , ,则 a a1 1 a n a a 1 2 1 a a n 2n n 1 n 2 3 n a a a 100 = . 三、解答题（本大题共 6 6 个小题，1717 题 1010 分，其余 1212 分，共 7070 分） 17.（本小题满分 10 分） 在 ABC 中 ， 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a,b,c ， 且 满 足 3asinC 4ccos A AB AC 3 ， （1）求ABC的面积 S； （2）若 c 1，求 a 的值. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，PAB是等边三角形，PAC =PBC = 90º （1）证明：AB PC； （2）若 PC 4，且平面 PAC 平面 PBC ，求三棱锥 P ABC 体积 19.（本小题满分 12 分） 某工厂有工人 1000名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工 人参加过长期培训（称为 B 类工人）.现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的 工人中共抽查 100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数） （1）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？ （2）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 - 3 - 表 1： 生产能力分组 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150 人数 4 8 x 5 3 表 2： 生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150 人数 6 y 36 18 （i）先确定 x, y ，再在答题卡上完成下列频率分布直方图就生产能力而言，A 类工人中个 体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直 接回答结论） （ii）分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均 数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，精确到 0.1） 20.（本小题满分 12 分） 为了响应教育部颁布的关于推进中小学生研学旅行的意见,某校计划开设八门研学旅 行课程，并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中 选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下. 上图中，已知课程 A,B,C,D,E 为人文类课程，课程 F,G, H 为自然科学类课程.为进一步研究 学生选课意向，结合上面图表，采取分层抽样方法从全校抽取1% 的学生作为研究样本组(以下 “简称 组 M”). (1)“在 组 M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？ - 4 - (2)“为参加某地举办的自然科学营活动，从 组 M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽 取 4 名同学前 往，其中选择课程 F 或课程 H 的同学参加本次活动，费用为每人 1500元，选择课程 G 的同学 参加，费用 为每人 2000元. ()设随机变量 X 表示选出的 4 名同学中选择课程G 的人数，求随机变量 X 的分布列； ()设随机变量Y 表示选出的 4 名同学参加自然科学营的费用总和，求随机变量Y 的数学期望. 21.（本小题满分 12 分） 已知动点 M 到点 N(1, 0) 和直线l ： x 1 的距离相等. （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）已知不与l 垂直的直线l ' 与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线l 的交点为 P ，以 AP 为直径 作圆C . 求证： N 在圆C 上. 22. (本小题满分 12 分) 椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分 别是 7 和 1 （1）求椭圆C 的方程； OP （2）若 P 为椭圆C 的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， e ，（e 为椭圆 C OM 的离心率），求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 - 5 - 高二 数学（理科） 参考答案 一、选择题 1-5: BCACC 6-10:AAACA 11、12：DB 12.【解析】：当直线l 垂直于实轴时，则易知 F 在 AB 的垂直平分线上；当直线l 不垂直 1, F 2 于实轴时，不妨设双曲线焦点在 x 轴， F 分别为双曲线的左、右焦点，且 A 、 B 都在右支 1, F 2 上，由双曲线定义： ， ，则 AF1 | AF2 | 2a BF BF a AF1 | AF2 | 2a BF BF a 1 2 2 AF BF AF BF 2 2 1 1 AB，由双曲线定义可知， 在以 、 为焦点的双曲线上，故选 F1, F A B B 2 二、填空题 13. 15 14. y2 4x 15. 15 16. 1306 2 一、解答题 17(本题满分 12 分） 解：（1）3asinC=4ccosA，3sinAsinC=4sinCcosA，sinC0，tanA= ，可得 sinA= ， cosA= =3，bccosA=3，bc=5S= bcsinA= =2 （2）由（I）可得：b=5a2=1+522×5×1× =20， 解得 a=2 18.（本小题共 12 分） 解：（1）因为PAB是等边三角形， PAC PBC 90 ， 所以 RtPBC RtPAC ，可得 AC=BC 如图，取 AB中点 D，连结 PD，CD，则 PDAB，CDAB， 所以 AB平面 PDC，所以 ABPC （2）作 BEPC，垂足为 E，连结 AE因为 RtPBC RtPAC ， 所以 AEPC，AE=BE由已知，平面 PAC 平面 PBC，故 AEB 90 因为 RtAEB RtPEB ，所以 AEB,PEB,CEB 都是等腰直角三角形由已知PC=4， 得 AE=BE=2， AEB 的面积 S 2 - 6 - 因为 PC 平面 AEB，所以三角锥 P ABC 的体积 1 8 V S PC 3 3 19(本小题满分12分) 解：（1）A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25名和 75 名 （2）（）由 4 8 x 5 3 25，得 x 5； 6 y 36 18 75，得 y 15； 频率分布直方图如下 从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小 4 8 5 5 3 x 105 115 125 135 145 123 （ii） ， A 25 25 25 25 25 6 15 36 18 x 115 125 135 145 133.8 ， B 75 75 75 75 25 75 x 123 133.8 131.1 100 100 A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数 的估计值分别为 123，133.8 和 131.1. 20.(本小题满分 12分) 解： (1)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300) 1%=12(人)； 选择自然科学类课程的人数为(300+200+300) 1%=8(人). (2) () 依题意，随机变量 X 可取 0，1，2. - 7 - C C 4 0 p(X 0) 6 2 C 4 8 3 14 C C 4 3 1 ； p X ； ( 1) 6 2 C 7 4 8 C C 3 2 2 p(X 2) 6 2 . C 14 4 8 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 p 3 14 4 7 3 14 ()法 1：依题意，随机变量Y =2000X +1500(4 X ) =6000+500X ， 所以随机变量Y 的数学期望为 E(Y )=6000+500E( X ) 3 4 3 =6000+500(0 1 2 ) 14 7 14 =6500. ()法 2：依题意，随机变量Y 可取 6000，6500，7000. 所以随机变量Y 的分布列为 Y 6000 6500 7000 p 3 14 4 7 3 14 所以随机变量Y 的数学期望为 E(Y )= 3 4 3 6000 6500 7000 14 7 14 =6500. 21. (本小题满分 12 分) （1）设动点 M (x, y) ， 由抛物线定义可知点 M 的轨迹 E是以 N(1, 0) 为焦点，直线 l： x 1 为准线的抛物线， 所以轨迹 E的方程为 y2 4x . (5 分） （2）由题意可设直线l ': x my n ， x my n , 由 可得 （*）， y2 4my 4n 0 y 4x 2 因为直线l ' 与曲线 E有唯一公共点 A， - 8 - 所以 16m2 16n 0 ，即 n m2 . 所以（*）可化简为 y2 4my 4m2 0 ， 所以 A(m2 ,2m) ， 令 x 1 得 P( 1, 1 n) ， m 因为 n m2 ， 所以 1,2 2,1 2 2 2 2 0 NA NP 2 m m n m n 2 m 所以 NA NP ， 所以点 N 在以 PA 为直径的圆C 上. （12分） 22.(本小题满分 12分) a c 1 解：（1）设椭圆长半轴长及分别为 a，c，由已知得 解得 a=4，c=3， a c 7 x y 2 2 所以椭圆 C 的方程为 （6 分） 1. 16 7 x y 3 2 2 （2）设 M（x，y），P(x， )，其中 由已知得 而 ，故 y x4, 4. e e 2 12 . 2 1 x y 4 16(x y ) 9(x y ). 2 2 2 2 1 112 7x 2 由点 P 在椭圆 C 上得 代入式并化简得 y , 2 1 16 9y 112, 2 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y (4 x 4),轨迹是两条平行于 x 轴的线段（12 分） 3 - 9 - - 10 -