高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课后习题新人教A版必修120170718115.wps
3.2.23.2.2 函数模型的应用实例 一、A A 组 1 1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 解析:由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点. 答案:D 2 2.用长度为 24 m 的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔 墙的长度为( ) A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m 解析:设隔墙长为 x m,则矩形场地长为 =(12-2x)m.所以矩形面积为 S=x(12-2x)=- 2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当 x=3 m 时,矩形面积最大. 答案:A 3 3.已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y,则 x,y 之间的函数关系式为( ) A.y=0.957 B.y=0.957 6100x C.y= D.y=1-0.04 解析:特殊值法,取 x=100代入选项,只有 A 正确. 答案:A 4 4.某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格相比,变 化情况是( ) A.升高 7.84% B.降低 7.84% C.降低 9.5% D.不增不减 解析:设该商品原价为 a, 四年后的价格为 a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a. 1 所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a, 即比原来降低 7.84%. 答案:B 5 5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为 a,经过 t天后体积 V与 天数 t的关系式为 V=a·e-kt.已知新丸经过 50天后,体积变为 a.若一个新丸体积变为 a,则 需经过的天数为( ) A.125 B.100 C.75 D.50 解析:由已知得 a=a·e-50k,即 e-50k= . a= ·a=(e-50k ·a=e-75k·a, t=75. 答案:C 6 6.“”学习曲线 可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t=-144lg 中,t表示达到 某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.若 N=40,则 t .(已 知 lg 20.301,lg 30.477). 解析:当 N=40 时, 则 t=-144lg =-144lg =-144(lg 5-2lg 3) =-144(1-lg 2-2lg 3)36.72. 答案:36.72 7 7.某汽车在同一时间内速度 v(单位:km/h)与耗油量 Q(单位:L)之间有近似的函数关系 Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少. 解析:Q=0.002 5v2-0.175v+4.27 =0.002 5(v2-70v)+4.27 =0.002 5(v-35)2-352+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5. 故 v=35 km/h时,耗油量最少. 答案:35 8 8.导学号 29900137 一个水池有 2 个进水口,1 个出水口.2 个进水口的进水速度分别如图甲、 乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天 0 时到 6 时,该水池的蓄水量如图丁所示. 2 给出以下 3 个论断:0 时到 3 时只进水不出水;3 时到 4 时不进水只出水;4 时到 6 时不进 水不出水.其中,一定正确的论断序号是 . 解析:从 0 时到 3 时,2个进水口的进水量为 9,故正确;由排水速度知正确;4时到 6 时可以 是不进水,不出水,也可以是开 1 个进水口(速度快的)、1 个排水口,故不正确. 答案: 9 9.如图所示,已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE=4 m,CD=6 m.为了合理利 用这块钢板,将在五边形 ABCDE内截取一个矩形块 BNPM,使点 P在边 DE上. (1)设 MP=x m,PN=y m,将 y表示成 x的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM面积的最大值. 解:(1)如图所示,延长 NP交 AF于点 Q, 所以 PQ=8-y,EQ=x-4. 在EDF中, ,所以 . 所以 y=- x+10,定义域为4,8. (2)设矩形 BNPM的面积为 S, 3 则 S=xy=x =- (x-10)2+50. 又 x4,8,所以当 x=8 时,S 取最大值 48. 所以当 MP=8 m 时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,且为 48 m2. 1010.导学号 29900138(2016·河北正定中学高一月考)经市场调查,某门市部的一种小商品在过 去的 20天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间 t(单位:天)的函数,且日销售量 近似满足函数 g(t)=80-2t,而且销售价格近似满足于 f(t)= (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0t20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解:(1)由已知得 y=f(t)·g(t) = = (2)由(1)知,当 0t10 时, y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225. 该函数在区间0,5上递增,在区间(5,10上递减, 则 ymax=1 22 5(当 t=5 时取得),ymin=1 200(当 t=0 或 t=10时取得). 当 108),解得 x=9. 答案:9 7 7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四 次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)假设气体在半径为 3 cm 的管道中,流量速率为 400 cm3/s.求该气体通过半径为 r cm的管 道时,其流量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm,计算该气体的流量速率.(精确到 1) 解:(1)由题意,得 R=kr4(k 是大于 0 的常数). (2)由 r=3 cm,R=400 cm3/s, 得 k·34=400,k= , 故速率 R 的表达式为 R= ·r4. (3)R= ·r4, 当 r=5 cm时,R= ×543 086(cm3/s). 8 8.导学号 29900140 下表是某款车的车速与刹车后的停车距离,试分别就 y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c 三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车 速为 120 km/h时的刹车距离. 车速/(km/h) 10 15 30 40 50 停车距离/m 4 7 12 18 25 车速/(km/h) 60 70 80 90 100 停车距离/m 34 43 54 66 80 解:若以 y=a·ekx 为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式, 得 解得 y=2.422 8e0.050 136x. 7 以此函数式计算车速度为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别约为 220.8 m,364.5 m,与 实际数据相比,误差较大. 若以 y=a·xn 为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得 解得 y=0.328 9x1.085. 以此函数关系计算车速度为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别约为 43.39 m,48.65 m, 与实际情况误差也较大. 若以 y=ax2+bx+c 为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数式,得 解得 y= x2+ x+2. 以此函数解析式计算车速为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别为 68 m,82 m,与前两个 相比,它较符合实际情况. 当 x=120时,y=114 m.故当车速为 120 km/h时,停车距离为 114 m. 8
