【K12配套】2019春九年级数学下册第二章二次函数小专题四二次函数的应用课时作业新版北师大.docx

精选word文档 下载可打印编辑小专题(四)二次函数的应用本专题包括求图形面积的最值问题、求抛物线形运动问题、求抛物线形建筑物问题、求销售中最大利润问题,是中考常考的题型,特别是利润问题,是近年考查的热点题型.类型1求面积(体积)的最值问题1.如图,有一块边长为6 cm的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是 932cm2. 2.有一块直角三角形铁皮余料,BC=1 m,A=30°.李老师想在这块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做演示用.请你帮李老师计算所取得最大矩形料的面积为 34 m2,这时CE= 32 m,CF= 12 m. 3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体.其中,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)解:已知抽屉底面宽为x cm,则底面长为(90-x) cm.由题意得y=x(90-x)×20=-20(x2-90x)=-20(x-45)2+40500,当x=45时,y有最大值,最大值为40500.答:当抽屉底面宽为45 cm时,抽屉的体积最大,最大体积为40500 cm3.4.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示.设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去).答:裁掉的正方形的边长为2 dm时,长方体底面面积为12 dm2.(2)由题意得10-2x5(6-2x),解得0<x2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,对称轴为直线x=6,开口向上,当0<x2.5时,w随x的增大而减小,当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元.答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.类型2求抛物线形运动问题5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h,已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.(1)当a=-124时,求h的值;通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m,离地面的高度为125 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值.解:(1)当a=-124时,y=-124(x-4)2+h,将点P(0,1)代入,得-124×16+h=1,解得h=53.把x=5代入y=-124(x-4)2+53,得y=-124×(5-4)2+53=1.625,1.625>1.55,此球能过网.(2)把(0,1),7,125代入y=a(x-4)2+h,得16a+h=1,9a+h=125,解得a=-15.6.李刚在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线y=-15x2+85x,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2 m.(1)请写出抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴;(2)请求出球飞行的最大水平距离;(3)若李刚再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其表达式.解:(1)y=-15x2+85x=-15(x-4)2+165,抛物线y=-15x2+85x开口向下,顶点为4,165,对称轴为直线x=4.(2)令y=0,得-15x2+85x=0,解得x1=0,x2=8.球飞行的最大水平距离是8 m.(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10 m,抛物线的对称轴为直线x=5,顶点为5,165.设此时对应的抛物线的表达式为y=a(x-5)2+165,又点(0,0)在此抛物线上,25a+165=0,解得a=-16125,此时球飞行路线应满足的抛物线的表达式为y=-16125(x-5)2+165,即y=-16125x2+3225x.类型3求抛物线形建筑物问题7.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米.求校门的高.(结果精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)解:以大门地面为x轴,它的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则抛物线过(-4,0),(4,0),(-3,4)三点.抛物线关于y轴对称,可设表达式为y=ax2+c,则16a+c=0,9a+c=4,解得a=-47,c=647,表达式为y=-47x2+647.顶点坐标为0,647.校门的高为6479.1(米).8.图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,从O,A两处观测P处,仰角分别为,且tan =12,tan =32,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)求点P的坐标;(2)水面上升1 m,水面宽多少?(2取1.41,结果精确到0.1 m)解:(1)过点P作PHOA于点H,如图.设PH=3x,在RtOHP中,tan =PHOH=12,OH=6x.在RtAHP中,tan =PHAH=32,AH=2x,OA=OH+AH=8x=4,x=12,OH=3,PH=32,点P的坐标为3,32.(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的表达式可设为y=ax(x-4),P3,32在抛物线y=ax(x-4)上,3a(3-4)=32,解得a=-12,抛物线的表达式为y=-12x(x-4).当y=1时,-12x(x-4)=1,解得x1=2+2,x2=2-2,BC=(2+2)-(2-2)=222.8.答:水面上升1 m,水面宽约为2.8 m.9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为34 m,到墙边OA的距离分别为12 m,32 m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?解:(1)根据题意,得B12,34,C32,34,把B,C的坐标代入y=ax2+bx,得34=14a+12b,34=94a+32b,解得a=-1,b=2,拋物线的函数关系式为y=-x2+2x.图案最高点到地面的距离为-224×(-1)=1 m.(2)令y=0,得-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,10÷2=5,最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案.类型4求销售中的最大利润问题10.(黄石中考)小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律:该蔬菜的销售价P(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足关系:P=9-x.该蔬菜的平均成本y(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)满足二次函数关系y=ax2+bx+10,已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克.(1)求该二次函数的表达式;(2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位:元/千克)最大?最大平均利润是多少?(注:平均利润=销售价-平均成本)解:(1)将x=4,y=2和x=6,y=1代入y=ax2+bx+10,得16a+4b+10=2,36a+6b+10=1,解得a=14,b=-3,y=14x2-3x+10.(2)根据题意,知L=P-y=9-x-14x2-3x+10=-14(x-4)2+3,当x=4时,L取得最大值,最大值为3.答:4月份的平均利润L最大,最大平均利润是3元/千克.11.某企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:y=7.5x(0x4),5x+10(4<x14).(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?解:(1)若7.5x=70,得x=283>4,不符合题意,5x+10=70,解得x=12.答:工人甲第12天生产的产品数量为70件.(2)由函数图象知,当0x4时,P=40;当4<x14时,设P=kx+b,将(4,40),(14,50)代入,得4k+b=40,14k+b=50,解得k=1,b=36,P=x+36.当0x4时,W=(60-40)×7.5x=150x,W随x的增大而增大,当x=4时,W最大=600元;当4<x14时,W=(60-x-36)(5x+10)=-5x2+110x+240=-5(x-11)2+845,当x=11时,W最大=845,845>600,当x=11时,W取得最大值,最大值为845元.答:第11天时,利润最大,最大利润是845元.8