2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3．6 直线与平面、平面与平面所成的角 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 36直线与平面、平面与平面所成的角直线与平面、平面与平面所成的角 读教材读教材·填要点填要点 1直线与平面所成的角直线与平面所成的角 (1)定义：如果直线定义：如果直线 l 与平面与平面 垂直，垂直，l 与平面与平面 所成的角所成的角 为直角，为直角， .如果直线如果直线 l 与与 2 平面平面 不垂直，则不垂直，则 l 在在 内的射影是一条直线内的射影是一条直线 l，将，将 l 与与 l所成的角所成的角 定义为定义为 l 与平面与平面 所成的角所成的角 (2)范围：范围：. 0， ， 2 (3)计算 ： 作直线计算 ： 作直线l的方向向量的方向向量v和平面和平面的法向量的法向量n， 并且可选， 并且可选v与与n所成的角所成的角1 0， ， 2 ，则，则 l 与平面与平面 所成的角所成的角 1，sin cos_1. 2 |v·n| |v|·|n| 2二面角二面角 (1)定义：从一条直线定义：从一条直线 l 出发的两个半平面出发的两个半平面 ， 组成的图形叫作二面角，记作组成的图形叫作二面角，记作 ­l­. (2)二面角的平面角二面角的平面角 过二面角过二面角 ­l­ 的棱的棱 l 上任意一点上任意一点 O 作垂直于棱作垂直于棱 l 的平面， 分别与两个面的平面， 分别与两个面 ， 相交得到 两条射线 相交得到 两条射线 OA，OB，则，则AOB 称为二面角称为二面角 ­l­ 的平面角的平面角 (3)二面角的范围二面角的范围 二面角的平面角的度数在二面角的平面角的度数在 0°180°范围内，特别当二面角范围内，特别当二面角 ­l­ 是是 90°时称它为直二面时称它为直二面 角，此时称两个面角，此时称两个面 ， 相互垂直相互垂直 3两个平面所成的角两个平面所成的角 两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个 平面所成的角，取值范围是 两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个 平面所成的角，取值范围是.两个平行平面所成的角为两个平行平面所成的角为 0°. ( (0， ， 2) ) 小问题小问题·大思维大思维 1当一条直线当一条直线 l 与一个平面与一个平面 的夹角为的夹角为 0 时，这条直线一定在平面内吗？时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行提示：不一定，这条直线可能与平面平行 2设直线设直线 l 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ，l 的方向向量为的方向向量为 a，平面，平面 的法向量为的法向量为 n，如何用，如何用 a 和和 n 求角求角 ？ 提示：提示：sin |cosa，n|. |a·n| |a|·|n| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？ 提示：相等或互补提示：相等或互补 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P­ABCD 中，底面为直角梯形，中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90°，PA 底面 底面 ABCD， 且， 且 PAADAB2BC，M，N 分别为分别为 PC，PB 的中点求的中点求 BD 与平面与平面 ADMN 所成的角所成的角 . 自主解答自主解答 如图所示，建立空间直角坐标系，设 如图所示，建立空间直角坐标系，设 BC1， 则则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， 则则 N(1,0,1)， (2,2,0)，(0,2,0)，(1,0,1)BD AD AN 设平面设平面 ADMN 的一个法向量为的一个法向量为 n(x，y，z)， 则由则由Error!Error! 得得Error!Error! 取取 x1，则，则 z1， n(1,0，1) cos，n ， ，BD ·n |·|n| 2 8· 2 1 2 sin |cos，n| .BD 1 2 又又 0°90°，30°. 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量；确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；确定向量夹角的范围； (4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量 夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去 确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量 夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去 90°. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.如图， 在三棱锥如图， 在三棱锥 P­ABC 中，中， PA平面平面 ABC， ， BAC90°， D， E， F 分别 是棱 分别 是棱 AB， BC， CP 的中点，的中点，ABAC1，PA2.求直线求直线 PA 与平面与平面 DEF 所 成角的正弦值 所 成角的正弦值 解：如图，以点解：如图，以点 A 为原点，为原点，AB，AC，AP 所在的直线分别为所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直 角坐标系 轴，建立空间直 角坐标系 A­xyz. 由由 ABAC1，PA2， 得得A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0,1,0)， P(0,0,2)， D， E， F ( ( 1 2， ，0， ，0) ) ( ( 1 2， ， 1 2， ，0) ) . ( (0， ， 1 2， ，1) ) (0,0，2)，.PA DE ( (0， ， 1 2， ，0) ) DF ( ( 1 2， ， 1 2， ，1) ) 设平面设平面 DEF 的法向量为的法向量为 n(x，y，z) 则则Error!Error! 即即Error!Error!解得解得Error!Error! 取取 z1，则平面，则平面 DEF 的一个法向量为的一个法向量为 n(2,0,1) 设设 PA 与平面与平面 DEF 所成的角为所成的角为 ，则，则 sin |cos，n|，PA | | ·n | |·|n| | 5 5 故直线故直线 PA 与平面与平面 DEF 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 5 5 求二面角求二面角 如图，四棱柱如图，四棱柱 ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1， 四边形 ， 四边形 ACC1A1和四边形和四边形 BDD1B1均为矩形均为矩形 (1)证明：证明：O1O底面底面 ABCD. (2)若若CBA60°，求二面角，求二面角 C1­OB1­D 的余弦值的余弦值 自主解答自主解答 (1)证明 ： 因为四边形证明 ： 因为四边形 ACC1A1和四边形和四边形 BDD1B1均为矩形， 所以均为矩形， 所以 CC1AC， DD1BD， 又又 CC1DD1OO1，所以，所以 OO1AC，OO1BD， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为因为 ACBDO，所以，所以 O1O底面底面 ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形，为菱形， ACBD.又又 O1O底面底面 ABCD， 所以， 所以 OB， OC， OO1两两垂直 如图， 以两两垂直 如图， 以 O 为原点，为原点， OB， OC， OO1 所在直线分别为所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系 设棱长为设棱长为 2，因为，因为CBA60°，所以，所以 OB，OC1，3 所以所以 O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，3 平面平面 BDD1B1的一个法向量为的一个法向量为 n(0,1,0)， 设平面设平面 OC1B1的法向量为的法向量为 m(x，y，z)， 则由则由 m，m，所以，所以Error!Error!OB1 OC1 取取 z，则，则 x2，y2，33 所以所以 m(2,2，)，33 所以所以 cosm，n. m·n |m|n| 23 19 257 19 由图形可知二面角由图形可知二面角 C1­OB1­D 的大小为锐角，的大小为锐角， 所以二面角所以二面角 C1­OB1­D 的余弦值为的余弦值为. 257 19 利用法向量求二面角的步骤为：利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量；确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值；求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；确定二面角的范围； (4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能 体现出来 确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能 体现出来 2(2016·全国卷全国卷)如图，在以如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的 五面体中，面 为顶点的 五面体中，面 ABEF 为正方形，为正方形，AF2FD，AFD90°，且二面 角 ，且二面 角 D­AF­E 与二面角与二面角 C­BE­F 都是都是 60°. (1)证明：平面证明：平面 ABEF平面平面 EFDC； (2)求二面角求二面角 E­BC­A 的余弦值的余弦值 解：解：(1)证明：由已知可得证明：由已知可得 AFDF，AFFE， 所以所以 AF平面平面 EFDC. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又又 AF平面平面 ABEF， 故平面故平面 ABEF平面平面 EFDC. (2)过过 D 作作 DGEF，垂足为，垂足为 G.由由(1)知知 DG平面平面 ABEF. 以以 G 为坐标原点，的方向为为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直为单位长，建立如图所示的空间直GF GF 角坐标系角坐标系 G ­xyz. 由由(1)知知DFE 为二面角为二面角 D ­AF­E 的平面角，故的平面角，故DFE60°，则，则 DF2，DG，3 可得可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)3 由已知得由已知得 ABEF，所以，所以 AB平面平面 EFDC. 又平面又平面 ABCD平面平面 EFDCCD， 故故 ABCD，CDEF. 由由 BEAF，可得，可得 BE平面平面 EFDC， 所以所以CEF 为二面角为二面角 C­BE­F 的平面角，的平面角，CEF60°. 从而可得从而可得 C(2,0，)3 所以所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)EC 3EB AC 3AB 设设 n(x，y，z)是平面是平面 BCE 的法向量，的法向量， 则则Error!Error!即即Error!Error! 所以可取所以可取 n(3,0，)3 设设 m 是平面是平面 ABCD 的法向量，则的法向量，则Error!Error! 同理可取同理可取 m(0，4)3 则则 cos n，m. n·m |n|m| 219 19 由图知，二面角由图知，二面角 E­BC­A 为钝角，为钝角， 故二面角故二面角 E­BC­A 的余弦值为的余弦值为. 219 19 解题高手解题高手 多解题多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试条条大路通罗马，换一个思路试一试 已知已知 PA平面平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角，求二面角 A­PB­C 的余弦值的余弦值2 解解 法一：如图所示，取 法一：如图所示，取 PB 的中点的中点 D，连接，连接 CD. PCBC，2 CDPB. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 作作 AEPB 于于 E，那么二面角，那么二面角 A­PB­C 的大小就等于异面直线的大小就等于异面直线 DC 与与 EA 所成的角所成的角 的 大小 的 大小 PD1，PE ， ， PA2 PB 1 2 DEPDPE . 1 2 又又AE，CD1，AC1， AP·AB PB 3 2 ，且，且，AC AE ED DC AE ED ED DC |2|2|2|22|·|cos()，即，即 1 12·AC AE ED DC AE DC 3 4 1 4 3 2 ·1·cos ， 解得解得 cos . 3 3 故二面角故二面角 A­PB­C 的余弦值为的余弦值为. 3 3 法二：由法一可知，向量与的夹角的大小就是二面角法二：由法一可知，向量与的夹角的大小就是二面角 A­PB­C 的大小，如图，的大小，如图，DC EA 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 Cxyz， 则， 则 A(1,0,0)， B(0， 0)， C(0,0,0)， P(1,0,1)， D 为为 PB 的中点，的中点， D2 . ( ( 1 2， ， 2 2 ， ，1 2) ) 又 ，即又 ，即 E 分的比为分的比为 . PE EB AP2 AB2 1 3 PB 1 3 E， ( ( 3 4， ， 2 4 ， ，3 4) ) EA ( ( 1 4， ， 2 4 ， ，3 4) ) ，|，|1，DC ( ( 1 2， ， 2 2 ， ，1 2) ) EA 3 2 DC · ××× ××× .EA DC 1 4 ( ( 1 2) ) ( ( 2 4) ) ( ( 2 2) ) ( ( 3 4) ) ( ( 1 2) ) 1 2 cos，.EA DC · | |·| 3 3 故二面角故二面角 A­PB­C 的余弦值为的余弦值为. 3 3 法三 ： 如图所示建立空间直角坐标系，则法三 ： 如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0， 0,0)， B(， 1,0)， C(0,1,0)，2 P(0,0,1)，(0,0,1)，(， 1,0)，(， 0,0)， ， (0，AP AB 2CB 2CP 1,1)， 设平面设平面 PAB 的法向量为的法向量为 m(x，y，z)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则Error!Error!Error!Error!Error!Error! 令令 x1，则，则 m(1，0)2 设平面设平面 PBC 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则，则 Error!Error!Error!Error!Error!Error! 令令 y1，则，则 n(0，1，1)， cosm，n. m·n |m|·|n| 3 3 二面角二面角 A­PB­C 的余弦值为的余弦值为. 3 3 1若直线若直线 l 的方向向量与平面的方向向量与平面 的法向量的夹角等于的法向量的夹角等于 120°，则直线，则直线 l 与平面与平面 所成的 角等于 所成的 角等于( ) A120° B60° C30°D以上均错以上均错 解析：设直线解析：设直线 l 与平面与平面 所成的角为所成的角为 ， 则则 sin |cos 120°| ， ， 1 2 又又090°，30°. 答案：答案：C 2若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.B. 6 3 3 3 C.D. 2 3 1 3 解析：设正三棱锥解析：设正三棱锥 P­ABC，PA，PB，PC 两两互相垂直，设两两互相垂直，设 PAPBPCa. 取取AB的中点的中点D， 连接， 连接PD， CD，易知，易知 PDC为侧面为侧面PAB与底面与底面ABC 所成的角所成的角 易求易求 PDa，CDa， 2 2 6 2 故故 cosPDC. PD DC 3 3 答案：答案：B 3 在边长为 在边长为 a 的正的正ABC 中，中， ADBC 于于 D， 沿， 沿 AD 折成二面角折成二面角 B­AD­C 后，后， BC a， 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 这时二面角这时二面角 B­AD­C 的大小为的大小为( ) A30°B45° C60°D90° 解析：由定义知，解析：由定义知，BDC 为所求二面角的平面角，为所求二面角的平面角， 又又 BCBDDC a， 1 2 BDC 为等边三角形，为等边三角形，BDC60°. 答案：答案：C 4若一个二面角的两个面的法向量分别为若一个二面角的两个面的法向量分别为 m(0,0,3)，n(8,9,2)，则这个锐二面角的 余弦值为 ，则这个锐二面角的 余弦值为_ 解析：解析：cosm，n. 0， ，0， ，3 · 8， ，9， ，2 3829222 2 149 2149 149 答案：答案：2 149 149 5正方体正方体 ABCD­A1B1C1D1中，直线中，直线 BC1与平面与平面 A1BD 所成的角的正弦值是所成的角的正弦值是_ 解析：如图，以解析：如图，以 DA，DC，DD1分别为分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴建立空间直 角坐标系，取正方体的棱长为 轴建立空间直 角坐标系，取正方体的棱长为 1， 则， 则 A(1,0,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,1)，易证，易证AC1 是平面是平面 A1BD 的一个法向量的一个法向量 又又(1,1,1)，AC1 (1,0,1)BC1 所以所以 cos，.AC1 BC1 1 1 3 ××2 6 3 所以所以 BC1与平面与平面 A1BD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 6 3 答案：答案： 6 3 6(2017·江苏高考江苏高考)如图，在平行六面体如图，在平行六面体 ABCD­A1B1C1D1中，中，AA1平 面 平 面ABCD，且，且ABAD2， AA1，BAD120°.3 (1)求异面直线求异面直线 A1B 与与 AC1所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)求二面角求二面角 B­A1D­A 的正弦值的正弦值 解：在平面解：在平面 ABCD 内，过点内，过点 A 作作 AEAD，交，交 BC 于点于点 E. 因为因为 AA1平面平面 ABCD， 所以所以 AA1AE，AA1AD. 如图，以如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系为正交基底，建立空间直角坐标系AE AD AA1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A­xyz. 因为因为 ABAD2， AA1，BAD120°，3 则则 A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)33333 (1)(，1，)，(，1，)A1B 33AC1 33 则则 cos， .A1B AC1 · | 31 3 7 ××7 1 7 因此异面直线因此异面直线 A1B 与与 AC1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 . 1 7 (2)可知平面可知平面 A1DA 的一个法向量为的一个法向量为(，0,0)AE 3 设设 m(x，y，z)为平面为平面 BA1D 的一个法向量，的一个法向量， 又又(，1，)，(，3,0)，A1B 33BD 3 则则Error!Error!即即Error!Error! 不妨取不妨取 x3，则，则 y，z2，3 所以所以 m(3，2)为平面为平面 BA1D 的一个法向量，的一个法向量，3 从而从而 cos，m .AE ·m | |m| 33 3 ×× 4 3 4 设二面角设二面角 B­A1D­A 的大小为的大小为 ，则，则|cos | . 3 4 因为因为 0，所以，所以 sin .1cos2 7 4 因此二面角因此二面角 B­A1D­A 的正弦值为的正弦值为. 7 4 一、选择题一、选择题 1若平面若平面 的一个法向量的一个法向量 n(2,1,1)，直线，直线 l 的一个方向向量为的一个方向向量为 a(1,2,3)，则，则 l 与与 所成角的正弦值为所成角的正弦值为( ) A. B. 17 6 21 6 CD. 21 6 21 3 解析：解析：cosa，n a·n |a|·|n| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . 1， ，2， ，3 · 2， ，1， ，1 14 9· 2211 22 3 14 ×× 6 21 6 l 与与 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 21 6 答案：答案：B 2.如图，过边长为如图，过边长为 1 的正方形的正方形 ABCD 的顶点的顶点 A 作线段作线段 EA平面平面 AC， 若 ， 若 EA1，则平面，则平面 ADE 与平面与平面 BCE 所成的二面角的大小是所成的二面角的大小是( ) A120° B45° C135°D60° 解析：以解析：以 A 为原点，分别以为原点，分别以 AB， AD， AE 所在直线为所在直线为 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 A­xyz， 则， 则 E(0,0,1)， B(1,0,0)， C(1,1,0)，(1,0， ， 1)，(1,1， ， 1)EB EC 设平面设平面 BCE 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)，则有，则有Error!Error!可取可取 n(1,0,1)，又平面，又平面 EAD 的法 向量为 的法 向量为(1,0,0)，所以，所以 cosn，故平面，故平面 ADE 与平面与平面 BCE 所成所成AB AB 1 2 ×× 1 2 2 的二面角为的二面角为 45°. 答案：答案：B 3在直角坐标系中，已知在直角坐标系中，已知 A(2,3)，B(2，3)，沿，沿 x 轴把直角坐标系折成平面角为轴把直角坐标系折成平面角为 的二面角的二面角 A­Ox­B，使，使AOB90°，则，则 cos 为为( ) AB. 1 9 1 9 C.D 4 9 4 9 解析：解析： 过过 A，B 分别作分别作 x 轴垂线，垂足分别为轴垂线，垂足分别为 A，B.则则 AA3，BB3， AB4，OAOB，折后，折后，AOB90°，AB.13OA2OB226 由，得由，得AB AA AB BB |2|2|2|22|·|·cos()AB AA AB BB AA BB 2691692××3××3××cos()， cos . 4 9 答案：答案：C 4.已知平面已知平面 内有一个以内有一个以 AB 为直径的圆，为直径的圆， PA， 点， 点 C 在圆周上在圆周上 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (异于点异于点 A， B)， 点， 点 D， E 分别是点分别是点 A 在在 PC，PB 上的射影，则上的射影，则( ) AADE 是二面角是二面角 A­PC­B 的平面角的平面角 BAED 是二面角是二面角 A­PB­C 的平面角的平面角 CDAE 是二面角是二面角 B­PA­C 的平面角的平面角 DACB 是二面角是二面角 A­PC­B 的平面角的平面角 解析：选项解析：选项 A 错误，若错误，若 DEPC，则，则 PC平面平面 ADE，所以，所以 PCAE，又，又 AEPB，所 以 ，所 以 AE平面平面 PBC，同理可证：，同理可证：AD平面平面 PBC，这是不可能的，这是不可能的 选项选项 B 正确， 因为正确， 因为 PABC， ACBC， 所以， 所以 BC平面平面 PAC， 所以， 所以 ADBC， 又， 又 ADPC， 且 ， 且 PCBCC，所以，所以 AD平面平面 PBC，又因为，又因为 AEPB，所以，所以 DEPB，所以，所以AED 为二 面角 为二 面角 A­PB­C 的平面角的平面角 选项选项C错误， 因为错误， 因为PA平面平面， 所以， 所以PA AC且且PAAB， 所以， 所以CAB为二面角为二面角B­PA­C 的平面角，因此，的平面角，因此，DAE 不是二面角不是二面角 B­PA­C 的平面角的平面角 选项选项 D 错误，在错误，在PAC 中，中，PAC90°，所以，所以 AC 与与 PC 不垂直，因此，不垂直，因此，ACB 不是 二面角 不是 二面角 A­PC­B 的平面角的平面角 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 5 如图所示， 已知正三棱柱 如图所示， 已知正三棱柱 ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，的所有棱长都相等， D 是是 A1C1的中点， 则直线的中点， 则直线 AD 与平面与平面 B1DC 夹角的正弦值为夹角的正弦值为_ 解析：不妨设正三棱柱解析：不妨设正三棱柱 ABC­A1B1C1的棱长为的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系， 则则 C(0,0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，33 ( ( 3 2 ， ，1 2， ，2) ) 则， 则， (，1,2)，CD ( ( 3 2 ， ，1 2， ，2) ) CB1 3 设平面设平面 B1DC 的法向量为的法向量为 n(x，y,1)，由，由Error!Error! 解得解得 n(，1,1)3 又，又，DA ( ( 3 2 ， ，1 2， ， 2) ) sin |cos，n| .DA 4 5 答案：答案：4 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6正正ABC 与正与正BCD 所在平面垂直，则二面角所在平面垂直，则二面角 A­BD­C 的正弦值为的正弦值为_ 解析：取解析：取 BC 中点中点 O，连接，连接 AO，DO.建立如图所示空间直角坐标系，设建立如图所示空间直角坐标系，设 BC1， 则则 A，B， ( (0， ，0， ， 3 2) ) ( (0， ， 1 2， ，0) ) D. ( ( 3 2 ， ，0， ，0) ) ，.OA ( (0， ，0， ， 3 2) ) BA ( (0， ， 1 2， ， 3 2) ) BD ( ( 3 2 ， ，1 2， ，0) ) 由于为平面由于为平面BCD的法向量， 可进一步求出平面的法向量， 可进一步求出平面ABD的一个法向量的一个法向量nOA ( (0， ，0， ， 3 2) ) ，( (1， ， 3， ，1 ) ) cosn，sinn，.OA 5 5 OA 25 5 二面角二面角 A­BD­C 的正弦值为的正弦值为. 25 5 答案：答案：2 5 5 7 已知三棱锥 已知三棱锥S­ABC中， 底面中， 底面ABC为边长等于为边长等于2的等边三角形，的等边三角形， SA垂直于底面垂直于底面ABC， SA 3，那么直线，那么直线 AB 与平面与平面 SBC 所成角的正弦值为所成角的正弦值为_ 解析：建立如图所示空间直角坐标系，则解析：建立如图所示空间直角坐标系，则 S(0,0,3)， A(0,0,0)， B(，3 1,0)，C(0,2,0) (，1,0)， ， (，1，3)，(0,2，3)AB 3SB 3SC 设平面设平面 SBC 的法向量为的法向量为 n(x，y，z) 则则Error!Error! 令令 y3，则，则 z2，x，n(，3,2)33 设设 AB 与平面与平面 SBC 所成的角为所成的角为 ， 则则 sin |cosn，| .AB |n·| |n|·| 3 3 4 ×× 2 3 4 答案：答案：3 4 8在体积为在体积为 1 的直三棱柱的直三棱柱 ABC­A1B1C1中，中，ACB90°，ACBC1，求直线，求直线 A1B 与平面与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为所成角的正弦值为_ 解析：由题意，可得解析：由题意，可得 体积体积 VCC1·S ABC CC1· ·AC·BC CC11， 1 2 1 2 CC12. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 建立如图所示空间直角坐标系，得点建立如图所示空间直角坐标系，得点 B(0,1,0)，.A1 1， ，0， ，2 则则(1,1，2)，A1B 又平面又平面 BB1C1C 的法向量为的法向量为 n(1,0,0) 设直线设直线 A1B 与平面与平面 BB1C1C 所成的角为所成的角为 ，与，与 n 的夹角为的夹角为 ，A1B 则则 cos ， ·n |·|n| 6 6 sin |cos |， 6 6 即直线即直线 A1B 与平面与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 6 6 答案：答案： 6 6 三、解答题三、解答题 9.如图， 长方体如图， 长方体ABCD­A1B1C1D1中，中， AB16， BC10， AA18， 点， 点E， F分别在分别在A1B1， D1C1 上，上，A1ED1F4.过点过点 E，F 的平面的平面 与此长方体的面相交，交线围 成一个正方形 与此长方体的面相交，交线围 成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由不必说明画法和理由)； (2)求直线求直线 AF 与平面与平面 所成角的正弦值所成角的正弦值 解：解：(1)交线围成的正方形交线围成的正方形 EHGF 如图所示如图所示 (2)作作 EMAB，垂足为，垂足为 M， 则则 AMA1E4，EMAA18. 因为四边形因为四边形 EHGF 为正方形，为正方形， 所以所以 EHEFBC10. 于是于是 MH6，所以，所以 AH10.EH2EM2 以以 D 为坐标原点，的方向为为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D­xyz，DA 则则 A(10,0,0)， H(10,10,0)， E(10,4,8)， F(0,4,8)， ， (10,0,0)， ， (0， ， 6， 8) 设 设 n(x，FE HE y，z)是平面是平面 EHGF 的法向量，则的法向量，则Error!Error!即即Error!Error! 所以可取所以可取 n(0,4,3) 又又(10,4,8)，AF 故故|cosn，|.AF |n·| |n| 45 15 所以所以 AF 与平面与平面 EHGF 所成角的正弦值为所成角的正弦值为. 45 15 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10(2017·全国卷全国卷)如图，四棱锥如图，四棱锥 P­ABCD 中，侧面中，侧面 PAD 为等边三 角形且垂直于底面 为等边三 角形且垂直于底面 ABCD，ABBC AD，BADABC90°，E 是是 PD 的中点的中点 1 2 (1)证明：直线证明：直线 CE平面平面 PAB； (2)点点 M 在棱在棱 PC 上，且直线上，且直线 BM 与底面与底面 ABCD 所成角为所成角为 45°，求二面角，求二面角 M­AB­D 的余 弦值 的余 弦值 解：解：(1)证明：取证明：取 PA 的中点的中点 F，连接，连接 EF，BF. 因为因为 E 是是 PD 的中点，所以的