2019年数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第4章 4.5 定积分与微积分基本定理 Word版含解析.pdf

高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 45定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 读教材读教材·填要点填要点 1曲边梯形的面积曲边梯形的面积 (1)曲边梯形 ： 位于曲线曲边梯形 ： 位于曲线yf(x)(axb)和和x轴之间的图形， 叫作函数轴之间的图形， 叫作函数yf(x)在区间在区间a， b 上的“曲边梯形” 上的“曲边梯形” (2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲 边梯形，再用矩形代替小曲边梯形边梯形，再用矩形代替小曲边梯形 2计算变力所做的功的方法计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲化整为零，以直代曲 3定积分的概念定积分的概念 设设f(x)是在区间是在区间a， b上有定义的函数， 在上有定义的函数， 在a， b之间取若干分点之间取若干分点ax0x1x2xnb. 记小区间记小区间xk 1， ，xk为为 k，其长度，其长度 xkxk 1记作 记作 xk，xk中最大的记作中最大的记作 d，再在每个小 区间 ，再在每个小 区间 k上任取一点代表点上任取一点代表点 zk，作和式：，作和式：(zk)xk . n k 1 f 如果如果(不论如何取分点不论如何取分点xk和代表点和代表点zk)当当d趋于趋于0时和式以时和式以S为极限， 就说函数为极限， 就说函数f(x)在在a， b上可积，并且说上可积，并且说 S 是是 f(x)在在a，b上的定积分，记作上的定积分，记作 Sf(x)dx. b a 4微积分基本定理微积分基本定理 如果如果 f(x)是在是在a，b上有定义的连续函数，上有定义的连续函数，F(x)在在a，b上可导并且上可导并且 F(x)f(x)， 则 则 f(t)dtF(b)F(a) b a 小问题小问题·大思维大思维 1求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲” ，怎样才能尽量减小求得的曲边 梯形面积的误差？ 求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲” ，怎样才能尽量减小求得的曲边 梯形面积的误差？ 提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲” ， 而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小 提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲” ， 而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小 2求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？ 提示：提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以 不变代变”的思想方法 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以 不变代变”的思想方法 (2)求解的方法步骤相同求解的方法步骤相同 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3 由定积分的定义可知， 由定积分的定义可知，f(x)dx 是一个常数还是一个变量？是一个常数还是一个变量？f(x)dx 的值与哪些的值与哪些 b a b a 量有关？量有关？ 提示：由定义可得定积分提示：由定义可得定积分f(x)dx 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、 b a 下限，而与积分变量没有关系，即下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du. b a b a b a 4如图所示，如何用阴影面积如图所示，如何用阴影面积 S1，S2，S3表示定积分表示定积分f(x)dx 的值？的值？ b a 提示： 提示： f(x)dxS1S2S3. b a 利用微积分基本定理求定积分利用微积分基本定理求定积分 计算下列定积分：计算下列定积分： (1) (4xx2)dx; (2)(x1)5 dx； 3 3 1 2 1 (3)(t2)dx; (4)dx. 2 1 2 1 1 x x 1 自主解答自主解答 (1)取取 F(x)2x2， x3 3 因为因为 F(x)4xx2， 所以所以 (4xx2)dxF(3)F(1) 3 3 1 . ( (2 × × 323 3 3) ) 2 × × 1 2 1 3 3 20 3 (2)因为因为(x1)5， 1 6 x 1 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以所以(x1)5dxF(2)F(1) 2 1 × ×(21)6 × ×(11)6 . 1 6 1 6 1 6 (3)取取 F(x)(t2)x，因为，因为 F(x)t2， 所以所以(t2)dxF(2)F(1) 2 1 2(t2)(t2)t2. (4)f(x) ， ， 1 x x 1 1 x 1 x 1 取取 F(x)ln xln(x1)ln， x x 1 则则 F(x) . 1 x 1 x 1 所以所以dxdxF(2)F(1)ln . 2 1 1 x x 1 2 1 ( ( 1 x 1 x 1) ) 4 3 运用微积分基本定理求定积分时的运用微积分基本定理求定积分时的 4 个注意点个注意点 (1)对被积函数要先化简，再求积分；对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和 ；求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和 ； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错”检验积分的对错 1计算下列定积分：计算下列定积分： (1) (3x22x1)dx； ； (2) dx； 3 3 1 2 1 ( (x 1 x) ) (3) (sin xcos x)dx； ； (4) |1x|dx. 0 2 0 解：解：(1)取取 F(x)x3x2x， 则则 F(x)3x22x1. (3x22x1)dxF(3)F(1)24. 3 3 1 (2)取取 F(x) x2ln x， 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则则 F(x)x . 1 x dxF(2)F(1) ln 2. 2 1 ( (x 1 x) ) 3 2 (3)取取 F(x)cos xsin x， 则则 F(x)sin xcos x. (sin xcos x)dxF()F(0)2. 0 (4)|1x|Error!Error! 取取 F1(x)x x2,0x1， 1 2 F2(x) x2x,1x2， 1 2 则则 F1(x)1x，F2(x)x1. |1x|dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)1. 2 0 利用定积分求参数利用定积分求参数 已知函数已知函数 f(x)ax2c(a0)，若，若f(x)dxf(x0)，0x01，求，求 x0的值的值 1 0 自主解答自主解答 因为 因为 f(x)ax2c(a0)， 取取 F(x) x3cx， a 3 则则 F(x)ax2c， 所以所以f(x)dx(ax2c)dxF(1)F(0) cax c. 1 0 1 0 a 3 2 0 解得解得 x0或或 x0(舍去舍去) 3 3 3 3 即即 x0. 3 3 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积 函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下 限不大于积分上限 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积 函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下 限不大于积分上限 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2已知已知 f(x)是一次函数，且是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，求，求 f(x)的解析式的解析式 1 0 1 0 17 6 解：设解：设 f(x)axb(a0)， 取取 F1(x) ax2bx， 1 2 F1(x)f(x) 则则(axb)dxF1(1)F1(0) ab， 1 0 1 2 x(axb)dx(ax2bx)dx， 1 0 1 0 取取 F2(x) ax3 bx2且且 F2(x)ax2bx， 1 3 1 2 则则x(axb)dxF2(1)F2(0) a b， 1 0 1 3 1 2 由由Error!Error! 解得解得 a4，b3，故，故 f(x)4x3. 利用定积分求曲边梯形的面积利用定积分求曲边梯形的面积 求由抛物线求由抛物线 yx24 与直线与直线 yx2 所围成图形的面积所围成图形的面积 自主解答自主解答 由 由Error!Error! 得得Error!Error!或或Error!Error! 所以直线所以直线 yx2 与抛物线与抛物线 yx24 的交点为的交点为(3,5)和和(2,0)， 设所求图形面积为设所求图形面积为 S，根据图形可得，根据图形可得 S (x2)(x24)dx (6xx2)dx， 2 2 3 3 2 2 3 3 取取 F(x)6x x2 x3， 1 2 1 3 则则 F(x)6xx2， SF(2)F(3). 125 6 若将本例中“直线若将本例中“直线 yx2”换为“抛物线”换为“抛物线 y3 x2” ，如何求解？” ，如何求解？ 3 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解：如图所示，设所求图形面积为解：如图所示，设所求图形面积为 S， Sdx 2 2 2 2 ( (3 3 4x 2) ) ( (x24) ) dx， 2 2 2 2 ( (7 7 4x 2) ) 取取 F(x)7xx3， 7 12 则则 F(x)7 x2， 7 4 SF(2)F(2). 56 3 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形画出图形 (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限 (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素： 被积函数的原函数易求；较少的分割区域；积分上限和积分下限比较简单被积函数的原函数易求；较少的分割区域；积分上限和积分下限比较简单 (4)写出平面图形的面积的定积分表达式写出平面图形的面积的定积分表达式 (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积 3求曲线求曲线 yex，ye x及直线 及直线 x1 所围成的图形的面积所围成的图形的面积 解：由图可知，积分区间为解：由图可知，积分区间为0,1， 面积面积 Sdx， 1 0( (e x e x) ) 取取 F(x)exe x， ， 则则 F(x)exe x， ， SF(1)F(0)e 2. 1 e 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 变速直线运动的物体的速度为变速直线运动的物体的速度为 v(t)1t2，初始位置为，初始位置为 x01，求它在前，求它在前 2 秒 内所走的路程及 秒 内所走的路程及 2 秒末所在的位置秒末所在的位置 自主解答自主解答 当 当 0t1 时，时，v(t)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当当 1t2 时，时，v(t)s2 Ds1s2. 答案：答案：C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.x4dx_. 2 1 解析：解析：x4，取，取 F(x) x5， ( ( 1 5x 5) ) 1 5 x4dxF(2)F(1) 2 1 25(1)5. 1 5 33 5 答案：答案：33 5 5若若(2xk)dx2，则，则 k_. 1 0 解析：取解析：取 F(x)x2kx，则，则 F(x)2xk， (2xk)dxF(1)F(0)1k2，k1. 1 0 答案：答案：1 6求由曲线求由曲线 xy1 及直线及直线 xy，y3 所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积 解：作出曲线解：作出曲线 xy1，直线，直线 xy，y3 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积的草图，所求面积为图中阴影部分的面积 求交点坐标：由求交点坐标：由Error!Error!得得Error!Error! 故故 A；由；由Error!Error!得得Error!Error!或或Error!Error!(舍去舍去)， ( ( 1 3， ，3) ) 故故 B(1,1)；由；由Error!Error!得得Error!Error!故故 C(3,3)， 故所求面积故所求面积 SS1S2dx(3x)dx4ln 3. 1 1 ( (3 1 x) ) 3 1 一、选择题一、选择题 1. dx 等于等于( ) 4 2 1 x A2ln 2 B2ln 2 Cln 2 Dln 2 解析：解析：dxln 4ln 2ln 2. 4 2 1 x 答案：答案：D 2一物体沿直线运动，其速度一物体沿直线运动，其速度 v(t)t，这个物体在，这个物体在 t0 到到 t1 这段时间内所走的路这段时间内所走的路 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 程为程为( ) A. B. 1 3 1 2 C. 1 D.3 2 解析：曲线解析：曲线 v(t)t 与直线与直线 t0，t1，横轴围成的三角形面积，横轴围成的三角形面积 S 即为这段时间内物 即为这段时间内物 1 2 体所走的路程体所走的路程 答案：答案：B 3.如图所示，阴影部分的面积是如图所示，阴影部分的面积是( ) A2B233 C. D. 32 3 35 3 解析：解析：S (3x22x)dx，即，即 F(x)3x x3x2， 1 1 3 3 1 3 则则 F(1)3 1 ， ， 1 3 5 3 F(3)9999. SF(1)F(3) 9. 5 3 32 3 答案：答案：C 4定积分定积分|x22x|dx( ) 2 2 2 2 A5 B6 C7 D8 解析：解析：|x22x|Error!Error! 取取 F1(x) x3x2，F2(x) x3x2， 1 3 1 3 则则 F1(x)x22x，F2(x)x22x. |x22x|dx (x22x)dx (x22x)dx 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 F1(0)F1(2)F2(2)F2(0)8. 答案：答案：D 二、填空题二、填空题 5函数函数 yxx2的图象与的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积等于轴所围成的封闭图形的面积等于_ 解析：由解析：由 xx20，得，得 x0 或或 x1.因此所围成的封闭图形的面积为因此所围成的封闭图形的面积为(xx2)dx. 1 0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 取取 F(x) x2 x3， 1 2 1 3 则则 F(x)xx2，面积，面积 SF(1)F(0) . 1 6 答案：答案：1 6 6设函数设函数 f(x)(x1)x(x1)，则满足，则满足f(x)dx0 的实数的实数 a_.a 0 解析： 解析： f(x)dxf(a)0，得 a0 或 1 或1， a a 0 又由积分性质知 a0，故 a1. 答案：答案：1 7计算计算(2xex)dx_. 2 0 解析：取解析：取 F(x)x2ex，则，则 F(x)2xex， 所以所以(2xex)dxF(2)F(0)5e2. 2 0 答案：答案：5e2 8曲线曲线 y 2x2e2x，直线，直线 x1，xe 和和 x 轴所围成的区域的面积是轴所围成的区域的面积是_ 1 x 解析：由题意得，所求面积为解析：由题意得，所求面积为 dx. e e 1 1 ( ( 1 x 2x2e2x) ) 取 F(x)ln xx2e2x， 则 F(x) 2x2e2x， 1 x 所以dxF(e)F(1)e2e. e e 1 1 ( ( 1 x 2x2e2x) ) 答案：答案：e2e 三、解答题三、解答题 9计算下列定积分计算下列定积分 (1)dx； 4 1 ( (2 x 1 x) ) (2)dx. 1 0 x 1 x2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解：解：(1)取取 F(x)2， 2x ln 2 x 则则 F(x)2x. 1 x 原式原式F(4)F(1)(22)2. ( ( 16 ln 2 2 ln 2) ) 4 14 ln 2 (2)取取 F(x) ln(1x2)，则，则 F(x). 1 2 x 1 x2 dxF(1)F(0) ln 2. 1 0 x 1 x2 1 2 10已知函数已知函数 f(x)x3x2x1，求其在点，求其在点(1,2)处的切线与函数处的切线与函数 g(x)x2围成的图形 的面积 围成的图形 的面积 解：解：f(x)3x22x1， (1,2)为曲线为曲线 f(x)x3x2x1 上的点，上的点， 设过点设过点(1,2)处的切线的斜率为处的切线的斜率为 k， 则则 kf(1)2， 过点过点(1,2)处的切线方程为处的切线方程为 y22(x1)， 即即 y2x. y2x 与函数与函数 g(x)x2围成的图形如图：围成的图形如图： 由由Error!Error!可得交点可得交点 A(2,4) y2x 与函数与函数 g(x)x2围成的图形的面积围成的图形的面积 S (2xx2) 2 2 0 取 F(x)x2 x3，则 F(x)2xx2， 1 3 SF(2)F(0) . 4 3