工程力学教学课件 第6章 弯曲应力.ppt

1,第六章 弯曲应力,目录,2,回顾与比较,内力,应力,目录,3,第六章 弯曲应力,§61 概述,§62平面图形的几何性质,§64 弯曲切应力,§65 梁的强度计算,§66 提高梁强度的主要措施,§67 弯曲中心,§68 组合梁,§63 弯曲正应力,4,§61 概述,一、平面弯曲,纵向对称面,P1,P2,5,P,P,a,a,A,B,Fs,M,x,x,二、纯弯曲,C,D,图示梁 AB 段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为纯弯曲。,C A与BD 段横截面上即有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为横力弯曲。,6,§ 6.2 平面图形的几何性质,截面的几何性质 :与构件的截面的形状和尺寸有关的几何量 。如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩 。,7,形心和静矩,形心：几何形状的中心。,等厚、均质薄板的重心与平面图形的形心相重合。,形心坐标公式,8,形心和静矩,静矩 ：,静矩的量纲单位为m3或cm3。,由形心坐标公式得：,9,惯性矩、惯性积,惯性矩 ：,惯性矩和惯性积的单位 m4或cm4。,惯性积：,10,§63 弯曲正应力,一、纯弯曲时梁的正应力, 实验观察,11,纵向直线代表一层纤维，变形后为平行曲线。每层变成曲面，同层纤维变形相同。,下层纤维受拉伸长，上层纤维受压缩短；层间变形连续，中间必有一层即不伸长也不缩短，,称为中性层。,横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。,12, 基本假设,平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形后的轴线正交；,层间纤维无挤压。,13, 变形几何关系,取一微段dx,dx,a,b,c,d,o1,k1,k2,o2,o,y,变形前,变形后,14, 变形物理关系,y,y,x,z,dA,z,其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标， 为中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和中性层的曲率半径。, 静力关系,横截面正应力满足如下关系：,15,y,y,x,z,dA,z,由：,必有横截面静矩Sz=0 ，z 轴过截面形心。,由：,C,必有横截面惯性积 Syz=0 ，z 轴为形心主轴。,16,y,y,x,z,dA,z,C,由：,其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。,于是得：,17,y,y,x,z,dA,z,C,由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。,z,z,C,C,18,令,上式可改写为,Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。,上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，可按平面假设分析吗?,19,横力弯曲,6-2,20,横力弯曲正应力公式,弯曲正应力,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,21,弯曲正应力公式适用范围,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,弹性变形阶段,22,常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,23,例1 求图示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三点的正应力。,A,B,C,D,2m,2m,2m,F=12kN,FA,FB,z,c,a,b,5,6,2,3,(cm),解：,取AD，,A,FA,D,Fs,MD,(上面受拉),(拉),(拉),24,例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,解：画梁的弯矩图；,5.5kN.m,4kN.m,z,y2,y1,确定中性轴的位置。,25,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,5.5kN.m,4kN.m,z,y2,y1,截面形心主惯性矩：,26,C,C,30,110,30,80,z,y2,y1,D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉应力可能发生在D 截面的下边缘，也可能发生在B 截面的上边缘。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,5.5kN.m,4kN.m,27,C,30,110,30,80,z,y2,y1,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,5.5kN.m,4kN.m,D截面:,B截面:,28,C,30,110,30,80,z,y2,y1,最大拉应力发生在B 截面的上边缘，最大压应力发生在D 截面的上边缘。分别为,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,5.5kN.m,4kN.m,29,例3 图示矩 形截面梁，C 截面处有一直径d=40mm的圆孔，试求该截面的最大正应力。,A,B,C,2m,2m,80,40,40,40,解：,30,§64 弯曲切应力,横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。,一、矩形截面切应力,基本假设：,截面上各点切应力与剪力同向；,距中性轴等距离各点的切应力相等。,在梁上截一微段dx ，再在微段上用水平截面mn 截一微元。,Fs,Fs,M,M+dM,1,1,2,2,dx,m,n,31,1,dx,2,m,n,x,y,h/2,1,2,y,y1,b,dA,FN1,FN2,1,2,dx,m,n,y,x,z,平衡条件：,32,y,y1,b,dA,N1,N2,1,2,dx,m,n,y,x,z,同理得,因,于是得,33,式中 为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。,C*,b,y,y*,h/2,h/2,z,max,由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。,34,二、其它截面切应力,工字型截面腹板的切应力,翼板,腹板,b,z,b1,max,式中b1为工字型腹板的厚度。,35,b,b1,z,max,为中性轴一側截面对中性轴的静矩。,T型截面,max,z,max,圆形截面,环形截面,max,z,z,36,例4 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求截面的最大切应力和胶缝的切应力。,A,B,2m,2m,60,40,40,40,解：,FA=6kN,FB=6kN,37,§65 梁的强度计算, 切应力强度条件：, 正应力强度条件：,对于等截面梁,梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。,38,简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即,矩形截面,圆形截面,环形截面,根据强度条件可进行下述工程计算：,强度校核；,设计截面尺寸；,确定容许荷载。,39,利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。,梁的最大正应力发生在弯矩最大、截面离中性轴最远点处；变截面梁要综合考虑 M与IZ;脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。,一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面，剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。,40,例5 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力t=40MPa、容许压应力c =100MPa，容许切应力 =20MPa 。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,C,z,200,200,30,30,解：求支座反力；,画内力图；,FD=10kN,M图,20kN.m,10kN.m,157.5,计算截面惯性矩；,10kN,10kN,20kN,Fs图,41,C,z,200,200,30,30,157.5,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,B 截面最大拉应力：,B 截面最大压应力：,C 截面最大拉应力：,C 截面最大压应力：,42,C,z,200,200,30,30,157.5,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,经比较可知，最大拉应力发生在C 截面的下边缘；最大压应力发生在B 截面的下边缘；最大切应力发生在B 的左截面的中性轴上。,43,C,z,200,200,30,30,157.5,此梁安全,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,44,A,B,3m,例6 图示工字形截面梁，已知容许正应力=170MPa，容许切应力=100MPa ，试选择工字钢的型号。,3m,2m,C,D,解：求支座反力；,FB=29kN,FD=13kN,画剪力图和弯矩图；,M图,Fs图,13kN,17kN,12kN,12kN.m,39kN.m,梁的强度主要由正应力所控制，先按正应力强度条件选择工字钢型号，再用切应力强度条件进行校核。,45,A,B,3m,3m,2m,C,D,FB=29kN,FD=13kN,由型钢表查选20a工字钢，主要参数如下：,46,例7 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力=10MPa，容许切应力=1.0MPa ，胶缝的容许切应力1 =0.4MPa，试确定容许荷载集度q。,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,z,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.125q,解：求支座反力；,画剪力图与弯矩图；,按正应力强度条件确定容许荷载；,1.5q,47,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,100,100,50,z,按切应力强度条件确定容许荷载；,48,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,100,100,50,z,按胶缝切应力强度条件确定容许荷载；,49,例8 图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的容许正应力=10MPa，容许切应力=2MPa 。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,解：求支座反力；,画剪力图和弯矩图；,Fs图,M图,5kN,3kN,7kN,1.25m,3kN.m,3.125kN.m,最大正应力发生在距A 端1.25m截面的上下边缘；,最大切应力发生在B 的左截面的中性轴上。,50,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,此梁安全。,51,§66 提高梁强度的主要措施,梁的设计主要依据正应力强度条件，即,由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑。,一、选择合理的截面形状,梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。,下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。,52,z,h,b,C,a,a,C,z,d,z,C,矩形截面比方形截面好,方形截面比圆形截面好,合理设计截面,53,合理放置截面,54,z,z,z,以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料的应力远比容许应力低，没能充分发挥材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。,二、采用变截面梁,对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到，而其它截面上的最大正应力均没达到。,55,若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到，此梁工程上称为等强度梁。,等强度梁的抗弯截面模量设计如下：,变截面梁,56,等强度梁,57,58,三、改善梁的受力情况,通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。,A,B,l,ql2/8,A,B,2l/3,l/6,l/6,ql2/72,ql2/72,ql2/24,M图,M图,合理布置支座,59,A,B,l/2,l/2,P,A,B,l/4,l/2,P,l/4,Pl/4,Pl/8,M图,M图,合理布置载荷,60,例9 由直径为d 的圆木截取一矩形截面梁，试按强度要求选择最合理的高宽尺寸h 、 b 。,b,z,y,h,d,C,解：使所截矩形的Wz 越大越好。,61,例10 吊装一混凝土梁，索绳所系位置x 为多少最安全。,q,l,x,x,qx2/2,qx2/2,q(l-2x)2/8- qx2/2,解：梁的最大弯矩最小时最安全，当梁的最大正弯矩与最大负弯矩相等时梁的最大弯矩最小，即,62,§67 弯曲中心,一、开口薄壁截面梁的弯曲切应力,dx,dx,t,t,N1,N2,a,a,b,b,c,c,d,d,b,c,d,b,c,前面已经介绍了工字形截面腹板的切应力，这里再研究一下翼板的切应力。从翼板上截一微元，受力如图。,h,H,63,dx,dx,t,t,N1,N2,a,a,b,b,c,c,d,d,b,c,d,b,c,式中 为翼板微元abcd 截面对中性轴z 的静矩，即,h,H,z,z,翼板的切应力为水平，大小成比例。,b,b1,64,dx,dx,t,t,N1,N2,a,a,b,b,c,c,d,d,b,c,d,b,c,h,H,z,z,b,b1,翼板根部切应力：,腹板端部切应力：,比较二式得：,腹板与翼板接合部的切应力关系与水管流量相似，故将截面切应力流向称为切应力流。,切应力流,65,二、弯曲中心,z,z,z,y,y,y,z,y,z,y,z,y,Fs1,Fs2,Fs2,Fs,Fs,Fs1,Fs1,Fs2,Fs2,A,C,C,C,C,C,C,A,槽形截面梁两种放置方式截面切应力流，截面剪力作用线的位置如图所示。,66,z,y,Fs,A,C,梁两种放置方式，截面剪力作用线的交点A 称为截面的弯曲中心。,z,y,Fs1,Fs2,C,Fs2,z,y,C,d,t,h,b,弯曲中心只与截面的几何性质有关，与材料、荷载等无关。,d,67,几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：,z,y,C,A,C,A,z,y,C,A,y,z,y,z,C,A,具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合；,开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上；,具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点。,68,z,y,A,C,P,当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。,当外力的作用线既过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲；,若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲。,z,y,A,C,P,z,y,A,C,P,z,y,A,C,P,平面弯曲,斜弯曲,平面弯曲扭转,斜弯曲扭转,69,例11 梁的截面与荷载作用线如图所示，试判断各梁发生何种变形。,z,z,z,y,y,y,P,P,P,C,C,C,矩形截面,T形截面,等边角钢,斜弯曲,斜弯曲扭转,斜弯曲扭转,A,A,70,§68 组合梁,dx,a,b,c,d,a,b,c,d,o1,o2,o1,o2,C,o,y,z,应变关系,横截面应力分布,前面讨论的是同种材料制成的梁横截面的应力。若梁是由几种不同种材料制成，称为组合梁。下面研究一下由两种材料制成的矩形截面组合梁的正应力。,71,a,b,c,d,o1,o2,C,o,y,z,应变关系,横截面应力分布,一、中性轴的位置,设中性层O1O2 的曲率半径为 ，根据平面假设，横截面各点应变为 。,y1,y2,两种材料的应变分别为：,72,a,b,c,d,o1,o2,C,o,y,z,应变关系,横截面应力分布,y1,y2,两种材料的应力分别为：,静力关系,dA1,dA2,73,a,b,c,d,o1,o2,C,o,y,z,应变关系,横截面应力分布,y1,y2,dA1,dA2,两种材料截面对中性轴 z 静矩的大小与材料的弹性模量成反比。由此可确定中性轴 的位置。,二、横截面各点正应力,74,a,b,c,d,o1,o2,C,o,y,z,应变关系,横截面应力分布,y1,y2,dA1,dA2,75,例12 两种材料组合梁，截面尺寸如图所示。已知材料1（上）的E1=100GPa，1=80MPa；材料2（下）的E2=200GPa， 2 =160MPa。求容许荷载P 。,A,B,2m,2m,P,C1,C2,40,40,200,100,z,yc2,yc1,解:,M图,P,中性轴位置,76,A,B,2m,2m,P,C1,C2,40,40,200,100,z,yc2,yc1,77,78,小结,1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法,2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用,3、了解提高梁强度的主要措施,目录,